大学物理-----电磁学安培环路定理

1.声明

2.安培环路定理

3.安培环路定理的证明

4.安培环路定理的应用

（1）分析

（2）解释

（3）有旋场

（4）无限长导线

（5）载流圆柱面

（6）载流圆柱体

（7）螺线管的磁感应强度

（8）螺绕环的磁感应大小

（9）均匀带电平面

1.声明

（1）首先声明，我不是一个物理专业的学生，是计算机专业的，其实我就是因为这个高中物理不是很好选的计算机，但是大学作为工科学生，这个大学物理还是要学的，但是其实我并不是很想学，但是有的时候，人的认知是有局限性的，后来认识到，这个大学物理就是高等数学微积分的应用，才好了很多；

（2）为什么这样说呢，因为这个我们在高等数学课上面学到的都是理论性的东西，对于这个微积分的学习，我们始终只是会做题，了解方法，没有这个实际的应用，现在，我们可以通过这个大学物理的学习，锻炼我们的这个解决实际问题的能力，实际上就是把所学习的知识付诸实践的过程，转变思维方式，就可以更好的看待问题，让我更好的学习大学物理；

（3）但是我们自己的学校，这个物理讲的不会很难，这个学期就学习了质点运动学，动力学的基本定律，以及这个电磁学的知识，所以我们的期末复习肯定就是围绕这三个主题进行的，我希望通过学习大学物理可以加强对于这个微积分的理解和应用，不应该简单的以过线为目的；

2.安培环路定理

（1）安培环路定理的内容

这个前面的积分实际上就是这个对于这个路径的长度的积分，因为这个磁感应强度的大小基本上就是不变的，这个积分的结果就是这个μ0乘上这个电流的代数和；

代数和就是有正负，这个正负表示的就是这个电流的大小，而不是电流的方向，这个电流的正负规定是使用的这个右手螺旋定责进行判断；

（2）对于这个定理的理解

这个B就是磁感应强度，是有整个磁场决定的，这个磁感应强度对于这个闭合路径的积分，得到的结果就是这个系数乘上这个电流的代数和；

在下面的这个例子里面，我们的这个闭合回路如图所示，这个穿过闭合回路的电流只有1和2，而且通过这个右手螺旋定则可以判断出来，这个电流的流向和我们的这个大拇指的指向是相反的，因此这个大小就是负数，因为这个I3没有经过这个闭合回路，因此这个式子里面就没有这个I3电流；

（3）对于这个安培环路定理里面的穿过的理解

下面的这个图片比较复杂，因为这个图片里面的这个丝带是否被这个环路缠绕需要我们进行这个仔细地观察，这个不是想说明这个地方，而是想要通过这个例子好好地体会这个穿过的意思；

在这个图片里面，对于这个2环路，这个丝带是多次穿过这个回路，根据这个方向进行正负号的判断，这个丝带穿过几次这个回路，这个电流就需要进行几次的判断；

对于这个4回路，这个丝带是只穿过了一次，但是这个回路是缠绕在这个丝带上面好几圈的，因此这个电流虽然只有一条，这个环路有几圈，我们就需要进行这个几倍的运算；

3.安培环路定理的证明

（1）对于这个安培环路定理的证明，并没有像我们的这个数学定理的证明那么的困难，使用到的都是这个很基础的数学微积分只是，了解证明的过程可以加强我们对于这个定理的理解；

我们的这个证明过程采取的思路就是从特殊到一般的思路，就是我们先是从这个特殊的情况入手，然后去逐步的向一般的情况去推广；

首先就是这个圆形闭合曲线回路的证明，在这个场景里面，我们的B就是确定的，就是μ0乘上电流，初一这个2π*R，这个是使用的毕奥萨伐尔定律得出来的结论，我们之前介绍过的，在这个情况下，这个不同点上面的这个B的大小是一样的，通过对于这个微小长度的积分，我们的这个总和就是这个环路的周长，最后得出来的就是这个电流的大小；

（2）我们改变这个闭合曲线的方向，上面的这个是符合这个右手螺旋定则的，读者可以下去自行的验证，我们改变这个闭合曲线的方向之后，这个电流的方向就和我们的这个大拇指的指向是相反的，这个时候电流的方向不变，磁场的方向不变，但是这个时候的磁场方向和这个微小弧段的夹角就是大于这个90度的，这个积分符号里面是进行的这个点乘运算；这个数学里面对于这个点乘的定义就是这个模乘上这两个向量的余弦值，因此这个时候需要在这个代数式的前面添加上负号；

（3）接下来我们讨论的就是这个任意形状的回路的证明，这个时候这个回路的周长我们是没有办法直接求解的，我们使用的是这个弧度表示这个弧长，利用取极限的思想最后这个2π是和这个弧度的和约掉，同样是可以得到这个最后的结果的；

（4）电流在这个回路之外情况的时候，我们还是需要判断这个微小弧段和这个磁感应强度的方向的家教的大小，因为这个电流的方向是确定的，这个每个点的磁感应强度的方向就是确定的，这个时候我们可以判断这个指向传入，传出的时候两个向量的点乘的结果恰好是0，这个也证明了我们上面提及到的这个等式右边只和这个通过闭合曲线的电流有关，在这个闭合曲线外面的电流的磁感应强度和这个弧微分的代数和是0；

（5）我们上面介绍的就是一个电流，这个当有多个电流的时候，这个就是叠加的结果，我们的这个等式右边也是需要积分的，这个就是我们的安培环路定理的最终形式；

4.安培环路定理的应用

（1）分析

因为这个安培环路定理等式左边的这个B表示的就是这个每个点的位置的磁感应强度，和这个弧微分进行这个点乘，如果这个每个弧微分的这个磁感应强度的数值都不一样，那么这个等式我们是没有办法求解的，因此我们只能引入一个磁感应强度；

（2）解释

意思上就是说这个计算时候的这个未知数B只能有一个，我们可以根据这个对称性进行运算，反正就是这个B不可以有多个，像这个B1，B2，B3这个就是不行的，因为这个是求解不出来的；

（3）有旋场

磁场是一个有旋场，但是无源，就是说的这个磁感应线是闭合的，我们称之为这个叫做有旋，原来的电场就是无旋的，因为这个电场线是不会闭合的，但是电场是有源头，总是从这个正电荷开始，终止与负电荷；

（4）无限长导线

利用这个安培环路定理求解无限长的通电直导线的磁场

我们任意选择一个点进行这个磁感应强度的求解，根据这个磁场的对称性，我们就可以的出来这个到导线距离相等的圆上面的磁感应强度是相同的，因此就满足了上面介绍的这个B的大小是一定的，我们可以把这个B从这个积分符号里面提取出来，对于这个弧微分的积分和就是这个圆的周长，这个时候我们就可以得出这个B的大小就是μ0/2pi*R，和我们之前使用这个毕奥萨伐尔定律得出的结论是一样的，但是这个显然是更加简单的，因为这个毕奥萨伐尔定律需要根据这个角度进行这个原函数的求解，计算起来也是比较复杂的，但是这个题目运用安培环路定理之后基本上就没有什么计算量了；

（5）载流圆柱面

无限长载流圆柱面的磁感应强度的分布

这个是载流圆柱面，后面还有这个载流圆柱体，这个圆柱面和圆柱体的区别就在于这个圆柱面的里面是空的，因此这个当分类讨论的时候，这个第一种情况下，r<R这个里面是没有这个电流流过的，因此这个等式的右边就是0，得出这个情况下的磁感应强度也是0；

当这个人r>R的时候，这个闭合区域里面包含了这个圆柱面，因此这个时候是有这个电流穿过的，这个时候等式的右边就不是0，B根据这个对称性还是相同的，可以提取出来，计算求得这个磁感应强度的大小；

（6）载流圆柱体

在r<R的时候，这个时候的电流的大小就不是0了，因为这个是一个载流圆柱体，里面是实心的，这个时候需要计算这个电流密度在乘上这个对应的闭合区域的面积；

当r>R的时候，这个时候的闭合区域包含了整个圆柱体，因此这个电流的大小就是I，我们可计算得出结果；这个时候我们会发现，无论是这个载流圆柱面，还是载流圆柱体，这个当选择的圆的半径大于圆柱的半径的时候，这个计算结果都是一样的；

（7）螺线管的磁感应强度

这个螺线管的问题也是很经典的，基本大部分教材上面都会有这个题目的；

这个跟这个线圈的匝数有关，我们构造的这个闭合回路并不是对称的，但是这个积分和却是可以消失的；

我们小介绍一下下面的第二个式子，这个里面是选取的图上面的ab弧段，乘上这个弧段对应的线圈的匝数，I就是值得每一匝数线圈的电流大小，Iab*n就是这个电流的总大小；

左边的话，我们要对这个环路分别进行积分，ab弧段上面的每一段的弧微分都和这个磁感应强度的方向是一样的，因此这个点乘的结果就是两个模长的乘积；

磁感应强度的方向是水平向右的，但是这个弧微分和这个方向是垂直的，因此这个点乘的结果就是0，cd弧段的结果也是0，不是因为这个夹角是直角，而是因为这个cd弧段位于这个螺线管的边缘，因此这个B近似等于0，所以这个B和dl的点乘结果就是0；

这样的话，这个等式的左边就只剩下了这个B和弧微分，夹角是90度，因此就可以写作两个模长的乘积，等式左边的ab和等式右边的ab相互抵消之后，就得到了这个B=μ0*n*I,这个里面的n是指线圈的匝数，I就是电流的大小；

（8）螺绕环的磁感应大小

螺绕环就是图上面展示的这个样子的，我们对于这个螺绕环，可以画出来这个剖面图，内圈的电流方向指向里面，外圈的电流方向指向外面；

我们选择半径是R的圆作为这个闭合路径，N就是这个圆上面的线圈的匝数，按照下面的这个推理的过程，实际上这个R指的就是这个小圆和大圆的中点这个位置，我们花间之后把这个N/L作为一个n，就是这个单位长度的匝数，就得到了和这个螺线管相同的结果，但实际上这个两个环之间是不均匀的，我们只是选择了这个中点位置作为平均值而已；