关于圆的方程

flyfish

几何定义

圆是平面上所有到一个固定点（圆心）距离相等的点的集合。

解析几何描述

设圆心位于点 $(h,k)$，半径为 $r$，那么对于圆上的任意一点 $(x,y)$，它到圆心的距离总是等于 $r$。根据勾股定理，这个距离可以表示为：$$\sqrt{(x-h{)}^2+(y-k{)}^2}=r$$
平方两边，可以得到：
$$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$$这是圆的标准方程。如果圆心位于原点 $(0,0)$，方程简化为：$$x^2+y^2=r^2$$
。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def plot_circle(h, k, r):
    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
    x = h + r * np.cos(theta)
    y = k + r * np.sin(theta)
    
    plt.figure(figsize=(6, 6))
    plt.plot(x, y, label=f'Circle: $(x - {h})^2 + (y - {k})^2 = {r}^2$')
    plt.scatter(h, k, color='red')  # 圆心
    plt.text(h, k, f'({h},{k})', fontsize=12, ha='right')
    plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
    plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
    plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
    plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
    plt.legend()
    plt.title('Circle')
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    plt.show()

plot_circle(0, 0, 5)


def plot_pythagorean_theorem(a, b):
    c = np.sqrt(a**2 + b**2)
    plt.figure(figsize=(6, 6))
    
    # 绘制直角三角形
    plt.plot([0, a], [0, 0], 'bo-')  # 底边
    plt.plot([a, a], [0, b], 'bo-')  # 高
    plt.plot([0, a], [0, b], 'bo-')  # 斜边
    
    # 标注边长
    plt.text(a / 2, -0.5, f'{a}', fontsize=12, ha='center')
    plt.text(a + 0.5, b / 2, f'{b}', fontsize=12, va='center')
    plt.text(a / 2, b / 2, f'{c:.2f}', fontsize=12, ha='right', rotation=np.degrees(np.arctan(b / a)))
    
    plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
    plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
    plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
    plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box')
    plt.title('Pythagorean Theorem')
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    plt.show()

plot_pythagorean_theorem(3, 4)