头歌资源库（13）背包问题

news2024/11/17 3:25:42

一、问题描述

二、算法思想

这是一个背包问题，可以使用动态规划算法来解决。具体思路如下：

定义一个二维数组dp，dp[i][j]表示前i个物品在背包容量为j时能获取的最大价值。
初始化dp数组的第一行和第一列为0，表示当只有一个物品或背包容量为0时，最大价值为0。
遍历每个物品i和每个背包容量j，根据以下状态转移方程更新dp数组：
如果物品i的重量大于背包容量j，则无法放入背包，dp[i][j] = dp[i-1][j]。
如果物品i的重量小于等于背包容量j，则考虑放入或不放入物品i的情况：
放入物品i，dp[i][j] = dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]，其中weight[i]表示物品i的重量，value[i]表示物品i的价值。
不放入物品i，dp[i][j] = dp[i-1][j]。
选择较大的值作为dp[i][j]。
从dp数组的最后一个元素往前遍历，根据状态转移方程可以得到装入背包的物品编号。
输出装入背包的物品编号。

三、代码实现

#include <stdio.h>

#define MAX_ITEMS 100
#define MAX_WEIGHT 1000

int max(int a, int b) {
    return (a > b) ? a : b;
}

// 动态规划求解背包问题
void knapsack(int n, int capacity, int weights[], int values[]) {
    int dp[MAX_ITEMS + 1][MAX_WEIGHT + 1] = {0};
    int i, w;

    // 填表格
    for (i = 1; i <= n; i++) {
        for (w = 1; w <= capacity; w++) {
            if (weights[i - 1] > w) {
                dp[i][w] = dp[i - 1][w];
            } else {
                dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], values[i - 1] + dp[i - 1][w - weights[i - 1]]);
            }
        }
    }

    // 回溯找出装入背包的物品
    int res[MAX_ITEMS];
    int k = n, c = capacity;
    int num = 0;
    while (k > 0 && c > 0) {
        if (dp[k][c] != dp[k - 1][c]) {
            res[num++] = k;
            c -= weights[k - 1];
        }
        k--;
    }

    // 输出结果
    for (i = num - 1; i >= 0; i--) {
        printf("%-d ", res[i]);
    }
    printf("\n");
    printf("end");
}

int main() {
    int n, capacity;
    scanf("%d %d", &n, &capacity);

    int weights[MAX_ITEMS], values[MAX_ITEMS];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &weights[i]);
    }

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &values[i]);
    }

    // 调用背包问题求解函数
    knapsack(n, capacity, weights, values);

    return 0;
}