目录
1.概念
2.性质
3.节点定义
4.结构
5.插入
6.验证
7.删除
8.红黑树和avl树比较
9.应用
概念
是一种二叉搜索树，但在每个节点上增加一个存储位表示节点的颜色，可以是red或black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长处两倍，因此是接近平衡的
性质
- 每个节点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点时红色的，则它的两个孩子结点是黑色的（不能有连续红色）
- 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点
- 每个叶子节点都是黑色的（此处的叶子结点指的是空结点）
第5条指的是空节点，方便数出二叉树的路径，上面的红黑树共有11条路径，每条路径都有2个黑色节点
最短路径：全黑
最长路径：一黑一红间隔
假设共有N个黑色节点，最短路径logN，最长路径2logN
假设每条路径都有N个黑色节点，每条路径的结点数量[N，2*N]之间
avl树是绝对平衡，红黑树是相对平横，最长路径不超过最短路径的2倍
节点定义
枚举一个颜色，红和黑，节点中加入颜色
enum color
{
RED,
BLACK
};
template <class K, class V>
struct TreeNode
{
struct TreeNode<K, V>* _parent;
struct TreeNode<K, V>* _left;
struct TreeNode<K, V>* _right;
std::pair<K, V> _kv;
color _col;
TreeNode(std::pair<K, V> kv)
:_parent(nullptr), _left(nullptr), _right(nullptr)
, _kv(kv), _col(RED)
{}
};
为什么节点默认是红色？
因为每条路径的黑色节点数量都必须相等，如果插入结点默认为黑色，就会对所有路径造成影响。如果是红色，最多只会影响自己所在的路径
红黑树结构
为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中可以增加一个头结点，因为根节点必须为黑色，为了与根节点区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的pParent域指向红黑树的根节点，pLeft域指向红黑树中最小的结点，_pRight域指向红黑树最大的结点，如下，本节的实现不采用头结点
插入
红黑树是在二叉搜索树的基础上加入其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：
插入结点
#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <queue>
enum color
{
RED,
BLACK
};
template <class K, class V>
struct TreeNode
{
struct TreeNode<K, V>* _parent;
struct TreeNode<K, V>* _left;
struct TreeNode<K, V>* _right;
std::pair<K, V> _kv;
color _col;
TreeNode(std::pair<K, V> kv)
:_parent(nullptr), _left(nullptr), _right(nullptr)
, _kv(kv), _col(RED)
{}
};
template <class K, class V>
class RBTree
{
typedef TreeNode<K, V> node;
public:
bool insert(const std::pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
node* parent = nullptr;
node* cur = _root;
while (cur)
{
parent = cur;
if (kv.first < cur->_kv.first)
{
cur = cur->_left;
}
else if (kv.first > cur->_kv.first)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
//插入
cur = new node(kv);
cur->_parent = parent;
if (kv.first < parent->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
}
private:
node* _root = nullptr;
};
检测新节点插入后，红黑树的性质是否遭到破坏
因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲颜色是红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时分情况讨论：
约定：cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点
1.当a/b/c/d/e都是空，cur就是新增
2.c/d/e是每条路径1个黑色节点的红黑树，那么就是x/y/z/r中任意一种
cur更改，变为黑色节点，左右各连a和b节点，cur就是在a和b插入，就会失衡
cde共有444种可能，插入位置有4个，就是64*4=256种可能
3.当每条路径变为2个黑色节点的子树
第一个是C88，C87…C80，再加上下面两个，第一个2个红色节点是C42，可以换一边，就是C42*2，第二个是C44，如果这些是100种可能，c,d,e就有1003种可能，其他更不用算了
从上面所有肯能找出一种规律，解决插入的相关问题
如果插入结点的双亲是黑色，不需要处理，是红色时才需要下面内容
- 情况一：cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红
- 注意：此处看到的树，可能是一颗完整的树，也可能是一颗子树
上面的右边是左边变色而来，p和u变黑，g变红，就平衡了
如果g是根节点，调整完成后，需要改为黑色
如果g是子树的根，调整完成后，g的双亲如果是黑色，就要继续往上调整
解决方式，将p和u改为黑，g改为红，然后把g当做cur，继续向上调整
- 情况二，cur为红，p为红，g为黑，u不存在/存在且为黑
u的情况有两种：
1.如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点，则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色，就不满足性质4
2.如果u节点存在，则一定是黑色的，那么cur原来的颜色也是黑色，现在看到的红色是因为cur的子树在调整的过程中将cur节点的颜色由黑色变为红色
p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转，相反
p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转
- 情况三，cur为红，p为红，g为黑，u不存在/存在且为黑
和情况二类似
p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转，旋转后变成了情况二，再右单旋转
p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转，旋转后变成了情况二，再左单旋转
调整
//父节点是红色调整
while (parent && parent->_col == RED)
{
node* gdparent = parent->_parent;
node* uncle;
if (gdparent->_left == parent)
{
uncle = gdparent->_right;
//第一种情况 叔叔节点是红色,变色
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
gdparent->_col = RED;
}
//第二种情况 分左右
// g
// par un
// cur
else
{
if (cur == parent->_left)
{
RotateRight(gdparent);
parent->_col = BLACK;
gdparent->_col = RED;
}
// g
// par un
// cur
else
{
RotateLeft(parent);
RotateRight(gdparent);
cur->_col = BLACK;
parent->_col = RED;
gdparent->_col = RED;
}
break;
}
}
else
{
uncle = gdparent->_left;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
gdparent->_col = RED;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
RotateLeft(gdparent);
parent->_col = BLACK;
gdparent->_col = RED;
}
// g
// par un
// cur
else
{
RotateRight(parent);
RotateLeft(gdparent);
cur->_col = BLACK;
//parent->_col = RED;
gdparent->_col = RED;
}
break;
}
}
cur = gdparent;
parent = cur->_parent;
}
//根必须是黑色
_root->_col = BLACK;
return true;
根节点在最后必须变为黑色，在函数最后部分统一改变
首先判断par在g的左边的三种情况，叔叔节点存在且是红色直接变色，更新节点向上。叔叔节点不存在或为黑色，判断cur在par的哪边，采取不同的旋转，然后改变节点颜色
par在g右边是相反
插入过程：
红黑树的验证
红黑树的验证分为两步：
1.检测是否满足二叉搜索树的（中序遍历是否有序序列）
2.检测是否满足红黑树的性质
先判断根节点是否为黑色，再记录一条路径黑色节点数量用来参考，递归红黑树，遇见黑色节点，黑色节点数量++。如果是红色节点，判断它的父节点是否为红色。遇到空，判断这条路径黑色节点数量和参考值是否一样
bool IsBalance()
{
if (_root->_col == RED)
{
std::cout << "根节点是红色" << std::endl;
return false;
}
int refVal = 0; //记录最左路径黑色节点的数量,用来参考
node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
{
refVal++;
}
cur = cur->_left;
}
return _IsBalance(_root, 0, refVal);
}
bool _IsBalance(node* cur, int blackNum, int refVal)
{
if (cur == nullptr)
{
//判断每条路径黑色节点数量正常
if (blackNum != refVal)
{
std::cout << "黑色节点数量不相等" << std::endl;
return false;
}
return true;
}
if (cur->_col == BLACK)
{
blackNum++;
}
if (cur->_col == RED && cur->_parent->_col == RED)
{
std::cout << cur->_kv.first << " 连续红色节点" << std::endl;
}
return _IsBalance(cur->_left, blackNum, refVal)
&& _IsBalance(cur->_right, blackNum, refVal);
}
删除
参考《算法导论》或者《STL源码剖析》
https://www.cnblogs.com/fornever/archive/2011/12/02/2270692.html
这里只提供思路
删除前部分内容和avl树都一样，如果删除的节点有两个孩子，就找前驱节点替换，这样所有情况都变成了删除节点只有一个孩子的情况，如果没有孩子也可以当做只有一个孩子处理
父亲节点称为par，删除节点del，孩子节点为child
- 第一种情况，删除的结点是红色，它如果有孩子一定是黑色，只需要将par链接到child
- 第二种情况，删除节点是黑色，child为红色，还是将par连接到child，将child改为黑色
- 第三种情况，删除节点是黑色，child也为黑色，这时考察del的兄弟节点，v有两种情况
情况1，v是黑色节点，v的左子女是w，根据w的颜色讨论：
下图g为祖父节点，u为del的child节点，v是del的兄弟节点，del节点在g的右孩子，删除后g连接到u
当删除了del时，g的右边ul和ur少了一个黑色节点，g的左边的每条路径wl，wr，vr都有相等的黑色节点
根据节点w的状态，有以下情况：
设平衡路径有2个黑色节点
1.w是红色节点，设wl，wr，vr都有2个黑色节点，wl，wr，vr中各有一个黑色节点，ul和ur无黑色节点。以g为中心右旋，vr接到g的左边，v变为红色，w和g改为黑色。此时，wl和wr里面各有1个黑色，w也是黑色，还是2个。vr中有1个黑色，加上g也是2个，u是黑色，g是黑色，ul和ur路径也是两个黑色节点
2.w是黑色节点，这时看w的有兄弟r节点，根据r分情况
① r是红色节点，通过一次先左后右的双旋，将g染成黑色
wl和wr无黑色节点，rl和rr各有1个黑色。旋转完后，右边增加一个黑色节点
② r是黑色节点，r是黑色节点，这时就要看g的颜色，如果g是红色，只要交换g和子女v的颜色。如果g是黑色，可以做一次右单旋转，将节点v上升染成双重黑色，消除节点u的双重黑色，双重黑色向根的方向移动
情况2，v是红色节点，考察有子女r，r一定是黑色节点，在看r的左子女s，根绝s的颜色分两种情况：
（1）s是红色，先左后右双旋，s染黑色，r上升，使包含u的路径的黑高度加1
(2) s是黑色，再看s的右兄弟节点t，根绝t的颜色分情况：
① 如果t为红色，先以t左旋，t替补r的位置，然后再以t先左后右的双旋，消除u的双重黑色
② 若节点t是黑色，以v为轴右单旋转，并改变v和r的颜色
节点u是g的左子女的情况是镜像的
红黑树和avl树的比较
都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O( l o g 2 N log_2N log2N)，红黑树不追求绝对平衡，只要保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以再经常增删的结构中更优，实际中红黑树用的更多
红黑树的应用
1.C++STL库，map/set、mutil_map/mutil_set
2.java库
3.linux内核
4.其他一些库
