torch.nn.GELU 模块在 PyTorch 中实现了高斯误差线性单元（GELU）激活函数。GELU 被用于许多深度学习模型中，包括Transformer，因为它相比传统的 ReLU（整流线性单元）函数能够更好地近似神经元的真实激活行为。

概述

• 功能: 应用 GELU 激活函数。
• 公式: GELU 激活函数可以表示为：
  $$\text{GELU}(x)=x\cdot \Phi (x)$$
  其中 $\Phi (x)$ 是标准正态分布的累积分布函数。

使用方法

要在神经网络中使用 torch.nn.GELU 模块，你可以简单地导入它并将其添加到模型的层中。以下是一个示例：

import torch
import torch.nn as nn

class MyModel(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(MyModel, self).__init__()
        self.layer1 = nn.Linear(10, 20)
        self.gelu = nn.GELU()
        self.layer2 = nn.Linear(20, 10)

    def forward(self, x):
        x = self.layer1(x)
        x = self.gelu(x)
        x = self.layer2(x)
        return x

# 创建模型实例
model = MyModel()

# 创建一个随机输入张量
input_tensor = torch.randn(5, 10)

# 前向传播
output_tensor = model(input_tensor)
print(output_tensor)

解释

• nn.Linear(10, 20): 一个线性层，输入大小为 10，输出大小为 20。
• nn.GELU(): GELU 激活函数，应用于第一个线性层的输出。
• nn.Linear(20, 10): 另一个线性层，输入大小为 20，输出大小为 10。

GELU 激活函数用于在模型中引入非线性，这有助于模型学习更复杂的模式。

GELU 的优点

• 平滑近似: GELU 提供了一种比 ReLU 更平滑的神经元激活近似，这可以帮助训练的稳定性和收敛性。
• 概率解释: 通过结合累积分布函数，GELU 以更有原则的方式考虑激活的概率，这可能在某些模型（尤其是自然语言处理 (NLP) 和计算机视觉 (CV) 中）带来更好的性能。

通过在你的 PyTorch 模型中使用 torch.nn.GELU，你可以利用这些优点来提高神经网络的性能和训练动态。

GELU（Gaussian Error Linear Unit）激活函数是在论文《Gaussian Error Linear Units (GELUs)》中提出的。这篇论文由 Dan Hendrycks 和 Kevin Gimpel 于 2016 年发表。

以下是使用 Python 和 Matplotlib 绘制 GELU 激活函数的函数曲线的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import erf

# 定义 GELU 激活函数
def gelu(x):
    return 0.5 * x * (1 + erf(x / np.sqrt(2)))

# 生成 x 轴数据
x = np.linspace(-3, 3, 400)
# 计算 y 轴数据
y = gelu(x)

# 绘制 GELU 激活函数曲线
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='GELU', color='blue')
plt.title('GELU Activation Function')
plt.xlabel('Input')
plt.ylabel('Output')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

运行上述代码将生成一个展示 GELU 激活函数的曲线图:

优点：

• 平滑的近似:

GELU 提供了比 ReLU 更平滑的激活函数，这有助于神经网络更稳定地训练并提高收敛性。ReLU 在负数区间完全关闭，而 GELU 会根据输入值的大小逐渐激活神经元。

• 概率解释:

GELU 将标准正态分布的累积分布函数（CDF）结合到激活函数中，以一种更有原则的方式处理激活的概率。这种方法考虑了输入值的分布，使得神经网络可以更有效地处理不同范围的输入。

• 更好的性能:

由于 GELU 函数的平滑性和概率解释，它在处理某些任务时（尤其是在自然语言处理 (NLP) 和计算机视觉 (CV) 任务中）表现出色。在这些任务中，GELU 激活函数可以提高模型的性能。

• 渐进式变化:

相对于 ReLU 的硬边界（即大于零输出本身，小于零输出零），GELU 提供了一种更加渐进式的激活方式，使得小负值输入仍然能够产生一定的激活效果，这在某些情况下可以提高模型的表现。

GELU 反向传播的公式

GELU 激活函数的公式

GELU 激活函数定义为：
$$\text{GELU}(x)=x\cdot \Phi (x)$$
其中 $\Phi (x)$ 是标准正态分布的累积分布函数。$\Phi (x)$ 的表达式为：
$$\Phi (x)=\frac{1}{2}\left(1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)$$

GELU 的梯度公式

为了求 GELU 的梯度，我们需要对其进行求导。这里 $\text{erf}(x)$ 是误差函数，定义为：
$$\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$$

求导过程

GELU 的导数可以表示为：
$$\frac{d}{dx}\text{GELU}(x)=\frac{d}{dx}\left(x\cdot \Phi (x)\right)$$

根据乘积法则：
$$\frac{d}{dx}\left(x\cdot \Phi (x)\right)=\Phi (x)+x\cdot \frac{d}{dx}\Phi (x)$$

我们需要对 $\Phi (x)$ 进行求导：
$$\frac{d}{dx}\Phi (x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\left(1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)\right)$$

由于常数部分导数为零，我们仅对 $\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$ 进行求导：
$$\frac{d}{dx}\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{-{\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi }}$$

所以：
$$\frac{d}{dx}\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$$

将其代入前面的公式，我们得到：
$$\frac{d}{dx}\text{GELU}(x)=\Phi (x)+x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$$

因此，GELU 的梯度为：
$$\frac{d}{dx}\text{GELU}(x)=\frac{1}{2}\left(1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)+x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$$

Python 代码绘制 GELU 梯度曲线

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import erf, erfc

# 定义 GELU 激活函数
def gelu(x):
    return 0.5 * x * (1 + erf(x / np.sqrt(2)))

# 定义 GELU 激活函数的导数
def gelu_derivative(x):
    return 0.5 * (1 + erf(x / np.sqrt(2))) + (x * np.exp(-x**2 / 2)) / np.sqrt(2 * np.pi)

# 生成 x 轴数据
x = np.linspace(-3, 3, 400)
# 计算 y 轴数据
y = gelu(x)
# 计算 y' 轴数据
dy = gelu_derivative(x)

# 绘制 GELU 激活函数和梯度曲线
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label='GELU', color='blue')
plt.plot(x, dy, label='GELU Derivative', color='red', linestyle='dashed')
plt.title('GELU Activation Function and Its Derivative')
plt.xlabel('Input')
plt.ylabel('Output')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

运行这段代码将生成一个展示 GELU 激活函数及其梯度的曲线图，有助于直观地理解 GELU 在反向传播中的行为: