RC滤波器及截止频率推导

news2025/3/1 1:56:18

1、RC滤波器

电容容抗公式 $X_{c}=\frac{1}{\omega c}=\frac{1}{2\pi fc}$

宏观分析：不管是高通还是低通滤波电路，说白了就是一个电容和一个电阻构成了一个分压电路，区别在于电容位置不同。低通滤波电阻在前电容在后，信号频率越高，容抗越小，相应的电容上分压越小，所以频率越高越不容易传递到后端。高通滤波电容在前电阻在后，因此信号频率越高电容上分压越小，那么电阻上的分压就越大，这就构成了高通滤波器。

微观分析：对于低通滤波电路，电源通电后，电子从电源负极流到电容，如果电源是高频信号，由于电容充放电较慢（无法跟随高频信号突变，只能平滑过渡），所以大部分电子都跑到电阻那端去了，所以电容两端电压很小，所以对于高频信号电容分压小，低频信号电容分压大，这就构成了低通滤波器。对于高通滤波电路，电源通电后，电子从电源负极流过电阻再流到电容，如果电源是高频信号，由于电容充放电较慢（无法跟随高频信号突变，只能平滑过渡），所以大部分电子堆积在电阻两端，所以电阻电压很大，这就构成了高通滤波器。

2、RC低通滤波器截止频率公式推导

2.1 一阶低通滤波器

一阶RC滤波器如上图所示，电阻R串联电容C，输入电压记为 $U_{i}$ ，输出电压记为 $U_{o}$ ，电容容抗公式为 $X_{c}=\frac{1}{j\omega C}$ ，根据串联分压，列出传递函数：其中j是代表复数的概念，电容器为无功元件，本身不消耗功率，在频率为 $\omega$ 的交流电作用下将会出现电流超前电压90°的情况，因此用复数准确地表示出这种相位关系。

$H(j\omega )=\frac{U_{o}}{U_{i}}=\frac{X_{c}}{R+X_{c}}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C }}=\frac{1}{1+j\omega RC }$

由复数计算，分子分母同乘 $1-j\omega R c$ ，则可得到 $H(j\omega )=\frac{1-j\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}$ ，计算该复数的模，则有，

$\left | H(j\omega ) \right |=\sqrt{(\frac{1}{1+(\omega RC)^{2}})^{2}+(\frac{\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{1+(\omega RC)^{2}}}$

复数的模代表了电压增益，当电压增益下降到 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍时，此时的频率即为截止频率，记为 $f_{c}$ ，那么就有，

$\left | H(j\omega ) \right |=\sqrt{\frac{1}{1+(\omega RC)^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，化简可得， $\omega Rc=1=2\pi f_{c}RC$ ，求得截止频率 $f_{c}=\frac{1}{2\pi RC}$

2.2 二阶低通滤波器

二阶RC滤波器如上图所示，可见由两个一阶电路构成。第一个一阶电路的电阻记为 $R_{1}$ ，电容记为 $C_{1}$ ；第二个一阶电路的电阻记为 $R_{2}$ ，电容记为 $C_{2}$ ；输入电压记为 $U_{i}$ ，输出电压记为 $U_{o}$ ，电容容抗公式为 $X_{c}=\frac{1}{j\omega C}$ （这里便于分析，取电阻 $R_{1}=R_{2}=R$ ，电容 $C_{1}=C_{2}=C$ ）。

二阶电路分析比一阶较为繁琐一点，不过原理还是一样，其中 $X_{c}//(R+X_{c})$ 代表 $X_{c}$ 与 $R+X_{c}$ 的并联等效电阻即 $X_{c}//(R+X_{c})=\frac{X_{c}*(R+X_{c})}{X_{c}+(R+X_{c})}$ ，所以二阶低通滤波器传递函数如下：