汉明校验·简明教程

news2025/1/11 4:14:33

汉明校验·简明教程

一、简介

汉明码是由 Richard Hanming 于 1950 年提出的，它具有一位纠错能力。

新增的汉明码校验位数应满足如下关系： $2^{k}\geqslant n+k+1$ ，其中k为校验位位数，n位数据位数。

同时，我要强调的是汉明校验码的生成和校验都都两种原则，希望读者要对概念进行清晰地把握，不可一知半解：
$\text{汉明校验}\begin{cases} \text{按配偶原则的校验}\\ \text{按配奇原则的校验} \end{cases}$
这里直接阐述配偶和配奇的原则会比较抽象，我们放到具体的例子中来看，会更加易懂。

二、汉明码生成

确定校验位的个数

使用公式【 $2^{k}\geqslant n+k+1$ 】计算需要的k，其中 k 是检验位的数量，n 是数据位的数量；

举个逆子：原欲发送数据为：0101，此时我们可得n=4，则欲使 $2^k\geq4+k+1$ ，k最小为3，即校验位个数为3。
安置校验位

我们规定：所有的校验位均放置在第 $2^n$ 位，也就是第1、2、4、8…位置等都是校验位，n从0开始，到k-1结束。

上例中k=3，则校验位的位置为：① $2^0=1$ ；② $2^1=2$ ；③ $2^2$ =4；即3位校验位放在最后要发送数据的第1，第2，第4个位置。

填充数据位:

在非校验位的其他位置上填写真正的数据，填充后汉明码应如如下形式才对：

$c_1$	$c_2$	0	$c_3$	1	0	1

其中 $c_1$ ， $c_2$ ， $c_3$ 为待确定值的校验位。

画表计算校验位的值

我们的原则是，位置代表的二进制写好后，每一行值为1的二进制位分为一组；然后，你会发现，每一行校验位的位置是互斥的，只有一个校验位值为1。也就是说，一个校验位会和若干数值位搭配，组成一组。

然后我们可以引出配奇和配偶原则了：
- 配奇原则：通过配置校验位 $C_j$ ，使得该组1的个数为奇数个，那么该组的各位进行异或操作必为1
- 配奇原则：通过配置校验位 $C_j$ ，使得该组1的个数为偶数个，那么该组的各位进行异或操作必为0
基于这样的发现，我们让同一组各数据位进行异或（两个二进制位异或，相同结果为0，不同为1）运算，按照配偶原则，可得结果如下计算所示：
$\text{配偶原则}\begin{cases}C_1\oplus0\oplus1\oplus1\Longrightarrow C_1=0\\ C_2\oplus0\oplus0\oplus1\Longrightarrow C_2=1\\ C_3\oplus1\oplus0\oplus1\Longrightarrow C_3=0 \end{cases}$
我们怎么理解上面的 $C_1 C_2C_3$ 的取值？

【 $C_1$ =0】，是因为和它一组的数据位为011中有偶数个1，按照配偶原则，已经有偶数个1了，那我就不用管了；反之看第二组，【 $C_2$ =1】,这是因为第二组的数据位为001，只有奇数个1，按照配偶原则， $C_2$ 要置1才能保证第二组的1为偶数个。第三组同理。

刚好在这里把配奇的原则也讲一下，上面的 $C_1 C_2C_3$ 如果按照配奇原则会是多少呢？如下（如果你理解了配偶原则，配奇也很简单）：
$\text{配奇原则}\begin{cases}C_1=\overline{0\oplus1\oplus1}\Longrightarrow C_1=1\\ C_2=\overline{0\oplus0\oplus1}\Longrightarrow C_2=0\\ C_3=\overline{1\oplus0\oplus1}\Longrightarrow C_3=1 \end{cases}$
可见，配奇的结果和配偶的结果刚好相反，这是因为异或操作的原理使得如果同一组中的数据位有偶数个1那么异或必为0，那么取反得校验位为1，那么组合起来（数据位有偶数个1，校验位有1个1，相加肯定是奇数咯）1的个数就是奇数个咯，完成奇配置。

书写完整的汉明码（配偶原则）

如第四步所计算，得到三个校验位的值后，将其值填充到校验位所对应的位置，将校验位的值填充进行，写出完整的汉明码，上例的汉明码为

1	2	3	4	5	6	7
$C_1$	$C_2$	$P_1$	$C_3$	$P_2$	$P_3$	$P_4$
0	1	0	0	1	0	1

书写完整的汉明码（配奇原则）

1	2	3	4	5	6	7
$C_1$	$C_2$	$P_1$	$C_3$	$P_2$	$P_3$	$P_4$
1	0	0	1	1	0	1

三、汉明码校验

按照配偶原则，假设我们收到了0110101，已知这是一个传输出错的汉明码

按照配偶原则，假设我们收到了1001100，已知这是一个传输出错的汉明码

提取小组（配偶原则）

0110101总位数为7，则易推得校验位为3位；再根据分组规则，我们可得到三组数据如下：
- 组1（1357）=0111
- 组2（2367）=1101
- 组3（4567）=0101
提取小组（配奇原则）

1001100总位数为7，则易推得校验位为3位；再根据分组规则，我们可得到三组数据如下：
- 组1（1357）=1010
- 组2（2367）=0000
- 组3（4567）=1100
校验（配偶原则）

我们按照配偶原则，将原来的分组的各组各位异或运算，若为0则表示该位没出错，否则表示出错。

上述汉明码，我们进行如下计算：
$g1=0\oplus1\oplus1\oplus1=1\\ g2=1\oplus1\oplus0\oplus1=1\\ g3=0\oplus1\oplus0\oplus1=0$
欸，汉明码只能纠错1位，那到底是哪一位出错了呢？其实呀，这里并不能只管看出来，但是汉明码的神奇之处就在于，校验后的k位数值的二进制逆序组合转化为十进制表示的数值就是出错的位置。

如上例，计算完得到 $g_1g_2g_3$ =110，我们逆序得到011，其十进制表示3，那么就是第三位出错了，瞅瞅是不是😁发的是0100101接收到的是0110101,确实是第3位出错了。
校验（配奇原则）

我们按照配奇原则，将原来的分组的各组各位异或后取反运算，若为0则表示该位没出错，否则表示出错。

上述汉明码，我们进行如下计算：
$g1=\overline{1\oplus0\oplus1\oplus0}=1\\ g2=\overline{0\oplus0\oplus0\oplus0}=1\\ g3=\overline{1\oplus1\oplus0\oplus0}=1$
此时得到 $g_1g_2g_3$ =111，逆序得到111。111十进制表示7，那么第七位出错了；检查一下呗，发的是1001101接收到的是1001100,确实是第7位出错了。