极限存在的条件

在左极限与又极限相关的内容中我们知道极限（也叫双侧极限）存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等，否则极限不存在。所以这里要来详细的探讨一下在什么情况下函数会不存在极限。

1. 函数 $f(x)=\frac{1}{x}$

观察反比例函数 $f(x)=1/x$ 的图像，如图所示. ${\lim }_{x\to 0}f(x)$ 是什么呢？看图就知道双侧极限在这里不大可能存在。因此，我们先来试着求一下右极限，$li{m}_{x\to 0+}f(x)$。

看一下图像，当 $x$ 是正的且接近于 $0$ 时，$f(x)$ 看起来好像非常大，特别是当 $x$ 从右侧滑向 $0$ 时，它看起来并不接近于任何数，它就是变得越来越大了。但会有多大呢？它会比你能想象到的任何数都大！我们说该极限是无穷大，并写作：

$$\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{1}{x}=\infty$$

类似地，这里的左极限是 $-\infty$，因为当 $x$ 向 $0$ 上升时，$f(x)$ 会变得越来越负，这就是说

$$\underset{x\to 0-}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$$

由于左极限为 $-\infty$ 和右极限为 $+\infty$ 不相等，故左极限和右极限都存在，但是双侧极限显然不存在。

2. 函数 $g(x)=\frac{1}{x^2}$

观察反比例函数 $g(x)=\frac{1}{x^2}$ 的图像，如图所示 ${\lim }_{x\to 0}f(x)$ 是什么呢？

此函数在 $x=0$ 处的左极限和右极限都是 $\infty$，因为左极限等于右极限，故左极限和右极限以及双侧极限都存在，因此这时也可以说极限（合称为极限）存在，即符号表示为 ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x2}=\infty$。

3. 函数 $g(x)=sin(\frac{1}{x})$

前面两个例子说明的是左右极限存在，但左极限不等于右极限时双侧极限不存在，那有没有可能会出现左极限或右极限不存在的情况，有的 $sin(\frac{1}{x})$ 就是这样的。

现在分析一下图像，由于 $sin(x)$ 在 $x=\pi$，$2\pi$，$3\pi$，$...$ 上的值全为 $0$，所以$sin(\frac{1}{x})$ 会在 $x=\frac{1}{\pi }$，$\frac{1}{2\pi }$，$\frac{1}{3\pi }$，$...$ 上的值全为 $0$。而 $\frac{1}{\pi }$，$\frac{1}{2\pi }$，$\frac{1}{3\pi }$，$...$ 这些数就是 $sin(1/x)$ 函数在 $x$ 轴的值。

${\lim }_{x\to 0+}sin(\frac{1}{x})$ 是什么呢？以上图像在 $x=0$ 附近很杂乱，它无限地在 $1$
和 $-1$ 之间振荡，震荡的原因是随着 $x$ 值得变化 $sin(\frac{1}{x})$ 不断产生最小 $-1$ 到最大 $1$ 之间含有小数的值（不是说只产生 -1 或 1，而是两者之间的实数值），当你从右侧向 $x=0$ 处移动时，振荡会越来越快，这里没有极限。

当 $x$ 从右侧趋于 $x=0$ 时，$sin(\frac{1}{x})$ 函数不趋于任何数，因此可以说 ${\lim }_{x\to 0+}sin(\frac{1}{x})$ 不存在（即 $DNE$）。