目录
- 一、AVL树的概念
- 二、AVL树的节点
- 三、AVL树的插入
- 四、AVL树的旋转
- 1.插入在较高左子树的左侧，使用右单旋
- 2.插入在较高右子树的右侧，使用左单旋
- 3.插入较高左子树的右侧，先左单旋再右单旋
- 4.插入较高右子树的左侧，先右单旋再左单旋
- 五、AVL树的验证
- 六、AVL树的删除
- 七、讲讲AVL树的性能
前言：
在前面我们学习了平衡二叉树，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现，下面我们要学习的AVL树就是处理二叉树自身缺陷的一种方式
一、AVL树的概念
在平衡二叉树中，如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素的时间复杂度会退化成O(N)。
因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
AVL树可以是一颗空树，如果不是，则它（或者它的任何一颗子树）需要具备以下性质：
- 它的左右孩子都是AVL树
- 左右子树的高度之差（平衡因子）的绝对值不超过1
如果它有n个节点，它的高度可以保持在log_n，时间复杂度为O(log_n)
二、AVL树的节点
AVL树的节点定义：
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K,V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
int _bf;//平衡因子
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
, _kv
{}
};
三、AVL树的插入
总的来说，AVL树就是在二叉搜索树的基础上加了一个平衡因子，所以AVL树的插入分两步：
1.按二叉搜索树的方式插入节点
2.插入后调节平衡因子
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
while (parent)
{
// 更新双亲的平衡因子
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
//没有改变高度，不继续向上更新平衡因子
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = cur->_parent;
parent = parent->_parent;
}
// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以Parent为根的树进行旋转处理
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
// 旋转处理
.......
break;
}
else
{
// 插入之前AVL树就有问题
assert(false);
}
}
return true;
}
四、AVL树的旋转
当插入一个新节点时，若是平衡因子到了2，则会导致树的不平衡，此时我们就要对这棵树进行旋转操作，使其重新满足AVL树的性质。
根据节点插入位置，AVL树的旋转分四种:
1.插入在较高左子树的左侧，使用右单旋
上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到4的左子树(注意：此处不是左孩子)中，2左子树增加了一层，导致以1为根的二叉树不平衡，要让1平衡，只能将1左子树的高度减少一层，右子树增加一层， 即将左子树往上提，这样1节点转下来，因为1节点比2节点大，只能将其放在2的右子树，而如果2节点有右子树，右子树根的值一定大于2节点，小于1节点，只能将其放在1节点的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
- **2节点的右孩子可能存在，也可能不存在
- 1节点可能是根节点，也可能是子树
如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树**
说白了就是把5节点给1节点，再把1节点给2节点，就像是用手把1节点按下来一样（画图理解更佳）
代码：
void RotateR(Node* parent)//以1为旋转点，进行右单旋
{
Node* subL = parent->_left;//2节点
Node* subLR = subL->_right;//5节点，也可能没有
parent->_left = subLR;//5节点给1节点
if (subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
subL->_right = parent;
//1节点可能是根节点，也可能是子树
// 如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
// 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == root)
{
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subL;
}
else
{
ppnode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppnode;
}
//更新平衡因子
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
2.插入在较高右子树的右侧，使用左单旋
参考上面的右单旋，代码：
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* ppnode = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = subR;
}
else
{
ppnode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppnode;
}
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
3.插入较高左子树的右侧，先左单旋再右单旋
将双旋变成单旋后再旋转，先以2节点为旋转点进行左单旋，然后再以1节点为旋转点进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新
代码：
void RorareLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
int bf = subLR->_bf;
// 先对2节点进行左单旋
RorateL(parent->_left);
// 再对对1节点进行右单旋
RotateR(parent);
if (bf == -1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
4.插入较高右子树的左侧，先右单旋再左单旋
和上面的先左再右差不多
总结一下：假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑：
-
parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为subR
当subR的平衡因子为1，左单旋
当subR的平衡因子为-1，右左单旋 -
parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为subL
当subL的平衡因子为1，左单旋
当subL的平衡因子为-1，左右单旋
旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新
五、AVL树的验证
如何去验证我们写出来的是AVL树呢？
我们知道，AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了控制高度平衡限制，所以对于验证AVL树，我们可以分两步：
-
验证是否为二叉搜索树
对其来一次中序遍历，如果得到一个有序的序列，则为二叉搜索树 -
验证是否为平衡树
(1) 各节点高度差的绝对值不超过1 （2）各节点的平衡因子是否正确
代码：
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
int Height()
{
return _Height(_root);
}
bool _IsBalance(Node* root, int& height)
{
// 空树也是AVL树
if (root == nullptr)
{
height = 0;
return true;
}
int leftHeight = 0, rightHeight = 0;
if (!_IsBalance(root->_left, leftHeight)
|| !_IsBalance(root->_right, rightHeight))
{
return false;
}
if (abs(rightHeight - leftHeight) >= 2)
{
cout << root->_kv.first << "不平衡" << endl;
return false;
}
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
return false;
}
height = leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
return true;
}
bool IsBalance()
{
int height = 0;
return _IsBalance(_root, height);
}
六、AVL树的删除
AVL树也算是二叉搜索树，所以我们可以用二叉搜索树删除节点的方式进行删除（可以看看之前讲的二叉搜索树删除操作：https://blog.csdn.net/liuty0125/article/details/139508094?spm=1001.2014.3001.5501），不过有差别的是，在删除后还要更新删除后的平衡因子，最坏情况可能会更新到根节点，所以一般不会对AVL树进行删除操作
七、讲讲AVL树的性能
先说优点：AVL树是一个平衡的二叉搜索树，它的每个节点的左右子树高度差的绝对值不超过1，因此，哪怕最坏也只是查找高度次，保证了查询时高效的时间复杂度O(log_n)。
但是它的缺陷也很明显：如果我们要对AVL树做一些修改方面的操作时，它的性能就十分低了，因为在修改时我们还要维护它的绝对平衡，旋转的次数比较多，而且在删除时，最坏情况可能会更新到根节点。
所以，如果只是需要一种查询高效且有序的数据结构，且数据个数为静态（不改变），比较适合AVL树，但如果你需要经常修改的话，AVL树可能就不太适合了。
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