数据结构【树】（理论篇）

news2025/3/1 0:02:45

树的概念

树是一个非线性的数据结构，前面我们学习的顺序表、链表等等等等，他们的逻辑结构都是成一条线的，都是所有元素都是排成一条的；而树他是有多个分支的，是发散的。

树是由n（n>=0）个有限节点所组成的一个具有层次关系的集合；之所以把这个集合叫做树是因为它看起来很像一颗倒过来的树（~~我个人感觉更像倒着的灌木丛~~），也就是说，他的根是朝上的，叶子是朝下的。

有一个特殊的节点，根节点，根节点是没有前置节点的
除了根节点，其他节点都被分为了M（M > 0）个不相交的集合 ，每个集合又是一颗结构与树类似的子树，每颗子树的根节点有且仅有一个前置节点（父节点），但可以有0个或多个后续节点（子节点）
所以，树是由递归定义的。（一颗树分为根和子树，子树又可以分为根和子树，子树的子树又可以分为根和子树……直到没有可以分的子树了）。

注意，再说一次：在树形结构中，子树是不能有交集的，有就不是树形结构！！！（而是图型结构）

树的相关概念

我们要想理解树，就必须要知道树的相关概念（标红的是重点）

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度（有多少个“儿子”）；如上图：A的为6

叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、Q...等结点为叶结点

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、J…等为分支结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点

树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度（哪个节点的“儿子”最多，度就该节点的“儿子”数量）；如上图：树的度为6

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中结点的最大层次（分支最深）；如上图：树的高度为4

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的表示

数据结构是为了管理数据，存储和查找数据是最基本的两个功能。

树当然也要有这两个功能

方法一（指针数组）

因为前面我们知道了树的度这一概念，假设这个树的度是N，就代表这颗树必然有个节点有N个“儿子”，所以我们在设计结构的时候，设计一个长度为N的指针数组，就可以用指针数组来存储子节点，将该节点的所以子节点都存放在这个数组里了。

#define N x //x为树的度
typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* subs[N];    
    DataType data;               
};

但是但是，这样会造成空间的浪费 ，树是不会出现所有节点都有度的，就拿上面的例子来，可以看到，这个树的度为6，但有很多的节点它的度是到不了6（还有些就没有度），但是这块空间是固定会开辟的，不管你是否有度，不管你度的数量多不多，都会固定开辟一块长度为N的指针数组。

方法二（左孩子右兄弟）

也就是说，在一个树的结构体中，只会有两个指针，一个称为左孩子指针，指向最左边的子节点；一个称为右兄弟指针，指向右边的亲兄弟 。

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* firstChild1;    //第一个孩子
    struct Node* pNextBrother;   //下一个兄弟的节点
    DataType data;               
};