在数学中，摆线（Cycloid）被定义为，一个圆在一条直线上滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种。摆线亦称圆滚线。
摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。
应用matplotlib.animation.ArtistAnimation可以画出摆线。

导入相关的包

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

配置绘图参数

包括jupyter notebook里的动画显示以及ffmpeg_path的设置，我的代码运行在Windows环境，所以ffmpeg_path指向了对应的软件路径。

# 在jupyter notebook配置动画显示
plt.rcParams['animation.html'] = 'html5'
# 配置ffmpeg路径
plt.rcParams['animation.ffmpeg_path'] = r'J:\software\ffmpeg-7.0.1-full_build\bin\ffmpeg.exe'
# 通过convert_path设置ImageMagick路径
plt.rcParams['animation.convert_path'] = r'J:\software\ImageMagick-7.1.1-33-portable-Q16-x64\convert.exe'

定义一个圆

包括设置圆心、半径等内容，我们可以通过如下代码进行定义。

# 圆半径
R = 1

• 通过一个方法定义圆及确定摆线

通过简单推导，我们知道摆线方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=r(\theta -sin\theta )\\ y=r(1-cos\theta )\end{array}$$

其中，$r$是圆半径，$\theta$是滚动角，即圆的半径所经过的弧度。

def circle(a, b, r, num=100):
    # (a,b): 圆心坐标
    # r: 圆半径
    # num: 采样密度，默认100
    x, y = [0]*num, [0]*num
    for i,theta in enumerate(np.linspace(0,2*np.pi,num)):
        x[i] = a + r*np.cos(theta)
        y[i] = b + r*np.sin(theta)
    return x, y

# 摆线计算
thetas = np.linspace(0,6*np.pi,200)
cycloid_x = R*(thetas-np.sin(thetas))
cycloid_y = R*(1-np.cos(thetas))
cycloid_c = R*thetas

绘制图像

根据上述定义的圆，画出图像，并为生成动画做准备。

fig = plt.figure()

lns = []
trans = plt.axes().transAxes
for i in range(len(thetas)):
    x,y = circle(cycloid_c[i], R, R, len(thetas))
    ln1, = plt.plot(x, y, 'g-', lw=2)
    ln2, = plt.plot(cycloid_x[:i+1] ,cycloid_y[:i+1], 'r-', lw=2)
    ln3, = plt.plot(cycloid_x[i], cycloid_y[i], 'bo', markersize=4)
    ln4, = plt.plot([cycloid_c[i], cycloid_x[i]], [R,cycloid_y[i]], 'y-', lw=2)
    tx1  = plt.text(0.05, 0.8, r'$\theta$ = %.2f $\pi$' % (thetas[i]/np.pi), transform=trans)
    lns.append([ln1,ln2,ln3,ln4,tx1])
plt.xlim(0,20)
plt.ylim(0,3)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid()
# 设置x和y坐标轴，使它们具有相同的单位长度
plt.gca().set_aspect('equal')

创建并展示动画

将动画保存为.mp4格式视频和.gif格式图像，并展示出来。

ani = animation.ArtistAnimation(fig, lns, interval=50)

ani.save('cycloid_ArtistAnimation.mp4',writer='ffmpeg')
ani.save('cycloid_ArtistAnimation.gif',writer='imagemagick')

ani