1. 浮点数的不精确性

32 比特只能表示 2 的 32 次方个不同的数，差不多是 40 亿个。如果表示的数超过能表示总的个数，那么就会有两个不同的数的二进制表示是一样的。计算机就会不知道这个数是什么。

40 亿个数是无法表示实数集合。需要一种高效的方式将 40 亿个数映射到实数集合。

2. 定点数的表示

我们用 4 比特来表示 0 ~ 9 的整数，那么 32 个比特就可以表示 8 个这样的整数。我们再把最右边的 2 个 0 ~ 9 的整数，当成小数部分；把左边 6 个0 ~ 9 的整数，当成整数部分。这样我们就可以用 32 个比特，表示 0 ~ 999999.99 这样 1 亿个实数了。

这种编码方式叫作 BCD编码（Binary-Coded Decimal）。
其有两个缺点：

1. 这样的表示方式有点“浪费”；
2. 没办法同时表示很大的数字和很小的数字。

3. 浮点数的表示

现实中，我们会用科学计数法来表示较大的或较小的数。在计算机里，也有一样的方法。浮点数的科学计数法的表示有一个 IEEE 的标准，它定义了两个基本的格式。
一个是用 32 比特表示单精度的浮点数，也就是我们常常说的 float 或者 float32 类型。另外一个是用 64 比特表示双精度的浮点数，也就是我们平时说的 double 或者 float64 类型。

单精度的 32 个比特可以分成三部分。

第一部分是一个符号位，用来表示是正数还是负数。一般用 s 来表示。在浮点数里，我们不像正数分符号数还是无符号数，所有的浮点数都是有符号的。

接下来是一个 8 个比特组成的指数位。一般用 e 来表示。8 个比特能够表示的整数空间，就是 0～255。我们在这里用 1～254 映射到 -126～127 这 254 个有正有负的数上。因为我们的浮点数，不仅仅想要表示很大的数，还希望能够表示很小的数，所以指数位也会有负数。0 （8 个比特全部为 0）和 255（8 个比特全部为 1） 表示非规格数。

最后是一个 23 个比特组成的有效数位。用 f 来表示。

结合科学计数法，浮点数就可以表示成如下：
$$(-1{)}^s\times 1.f\times 2^e$$

表示 0 和一些特殊的数，我们就要用上在 e 里面留下的 0 和 255 这两个表示，这两个表示其实是两个标记位。在 e 为 0 且 f 为 0 的时候，我们就把这个浮点数认为是 0。

在这样的浮点数表示下，不考虑符号的话，浮点数能表示的最小的数和最大的数，差不多是 $1.17\times 10^{-38}$ 和 $3.40\times 10^{38}$。比前面的 BCD 编码能够表示的范围大多了。

参考

极客时间《深入浅出计算机组成原理》：http://gk.link/a/11UMi