目录
一、算法思想
二、解题步骤
三、神奇的兔子序列
（一）问题
（二）递归公式
（三）以求解F(6)为例
（四）代码
四、01背包问题
（一）算法思想
（二）举例
1. 有3种物品
2. 背包问题网格
3. 初始化第一列
4. 吉他行
5. 音箱行
6. 电脑行
7. 总结
（三）核心代码
（四）完整代码
一、算法思想
- 动态规划也是一种分治思想，但与分治算法不同的是，分治算法是把原问题分解成若干子问题，自顶向下求解各子问题，合并子问题的解，从而得到原问题的解。动态规划也是把原问题分解为若干子问题然后自底向上，先求解最小的子问题，把结果存储在表格中，再求解大的子问题时，直接从表格中查询小的子问题的解，避免重复计数，从而提高算法效率。
二、解题步骤
（1）分析最优解的结构特征
（2）建立最优值的递归式
（3）自底向上计算最优值，并记录
（4）构造最优解
三、神奇的兔子序列
（一）问题
前两个月都是1对兔子，从第3个月开始，当月的兔子数等于前两个月的兔子数，求解第n个月的兔子数量？
（二）递归公式
（三）以求解F(6)为例
- 利用动态规划求解的时候，记录结果，重复问题只需要求解依次即可
（四）代码
int Fib(int n)
{
if (n < 1)
return -1;
else
{
vector<int>F(n+1);
F[0]=0;
F[1]=1;
F[2]=1;
for (int i = 3; i <= n; i++)
{
F[i] = F[i - 1] + F[i - 2];
}
return F[n];
}
}四、01背包问题
（一）算法思想
- 用数组
表示从下标为0到
的物品里任意选取，然后放进容量为
的背包中，背包所能装入的最大价值。
对于一个物品i，要么能放入背包，要么不能放入背包：
- 第一种情况：物品
的重量
大于背包容量
。
- 第二种情况：物品
- 1.选择不将物品
- 2.选择将物品
，
- 此时从剩下的0到
- 那么物品最大价值为：
所以背包所能装入最大价值为：
（二）举例
1. 有3种物品
| 物品 | 价值 | 重量 |
| 吉他 | 1500美元 | 1磅 |
| 音箱 | 3000美元 | 4磅 |
| 笔记本电脑 | 2000美元 | 3磅 |
2. 背包问题网格
3. 初始化第一列
- 背包容量为0，意味着吉他，音箱，电脑都不能装入背包，所有此时背包最大价值均为0
4. 吉他行
1. 第2个单元格表示背包的容量为1磅。吉他的重量也是1磅，这意味着它能装入背包！
2. 之后背包容量为2磅，3磅，4磅也能装下
3. 表明若一个背包容量为4磅，可在其中装入的商品的最大价值为1500美元
5. 音箱行
- 更新最大值：表明若一个背包容量为4磅，可在其中装入的商品的最大价值为3000美元
6. 电脑行
7. 总结
（三）核心代码
template<typename T1,typename T2>
void Knapsack(int bagW,int n)
{
vector<T1>value(n);//存放物品价值
vector<T2>weight(n);//物品数量
Init(n,value,weight);//初始化物品信息
vector<vector<T1>>dp(n,vector<T1>(bagW+1,0));//背包最大价值
for (int i = 0; i < n; i++)//初始化第一列
{
dp[i][0] = 0;
}
for (int j = 1; j <= bagW; j++)//初始化第一行
{
if (j < weight[0])//背包容量小于物品重量
dp[0][j] = 0;
else
dp[0][j] = value[0];
}
for (int i = 1; i < n; i++)//i是物品序号
{
for (int j = 1; j <=bagW; j++)//j表示背包容量
{
if (j < weight[i])//容量为j的背包装不了物品i
dp[i][j] = dp[i - 1][j];//此时背包最大价值为前i-1个物品的最大价值
else
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << "背包最大价值："<<dp[n - 1][bagW];
}（四）完整代码
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
template<typename T1, typename T2>
void Init(int n,vector<T1>&v,vector<T2>&w)//物品初始化
{
cout << "依次输入物品的价值和重量："<<endl;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cin >> v[i] >> w[i];
}
//直接初始化物品
//vector<T1>value{ 1501.6,3000,2000.8 };
//v = value;
//vector<T2>weight{ 1,4,3 };
//w = weight;
}
template<typename T1,typename T2>
void Knapsack(int bagW,int n)
{
vector<T1>value(n);//存放物品价值
vector<T2>weight(n);//物品数量
Init(n,value,weight);//初始化物品信息
vector<vector<T1>>dp(n,vector<T1>(bagW+1,0));//背包最大价值
for (int i = 0; i < n; i++)//初始化第一列
{
dp[i][0] = 0;
}
for (int j = 1; j <= bagW; j++)//初始化第一行
{
if (j < weight[0])//背包容量小于物品重量
dp[0][j] = 0;
else
dp[0][j] = value[0];
}
for (int i = 1; i < n; i++)//i是物品序号
{
for (int j = 1; j <=bagW; j++)//j表示背包容量
{
if (j < weight[i])//容量为j的背包装不了物品i
dp[i][j] = dp[i - 1][j];//此时背包最大价值为前i-1个物品的最大价值
else
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << "背包最大价值："<<dp[n - 1][bagW];
}
int main()
{
Knapsack<float,int>(4,3);//背包最大容量为4，物品个数为3
return 0;
}
