0. 前言

2022年没有新写什么博客, 主要精力都在搞论文. 今年开始恢复!

本文的目标是详细分析一个经典的基于landmark(文章后面有时也称之为控制点control point)的图像warping(扭曲/变形)算法: Thin Plate Spine (TPS).

TPS被广泛的应用于各类的任务中, 尤其是生物形态中应用的更多: 人脸, 动物脸等等, TPS是cubic spline的2D泛化形态. 值得注意的是, 图像处理中常用的仿射变换(Affine Transformation), 可以理解成TPS的一个特殊的变种.

• 什么是图像扭曲/变形问题?[3]
  给定两张图片中一些相互对应的控制点(landmark, 如图绿色连接线所示)，将 图片A(参考图像) 进行特定的形变，使得其控制点可以与 图片B(目标模板) 的landmark重合.

TPS是其中较为经典的方法, 其基础假设是:
如果用一个薄钢板的形变来模拟这种2D形变, 在确保landmarks能够尽可能匹配的情况下，怎么样才能使得钢板的弯曲量(deflection)最小。

• 用法示例
  TPS算法在我的实践中, 用法是: 根据图像的landmark(下图左黑色三角), 将2D图像按照映射关系(绿色连接线)到的逻辑变形(warping)到目标模板(下图右).
  

1. 理论

Thin-Plate-Spline, 本文剩余部分均用其简称TPS来替代. TPS其实是一个数学概念[1]:

TPS是1D cubic spline的二维模拟, 它是 双调和方程 (Biharmonic Equation)[2]的基本解, 其形式如下:

$$U(r)=r^2\ln (r)$$

1.1 $U(r)$形式的由来

那么为什么形式是这样的呢? Bookstein[10]在1989年发表的论文 “Principle Warps: Thin-Plate Splines and the Decomposition of Deformation” 中以双调和函数(Biharmonic Equation)的基础解进行展开:

首先, $r$表示的是$\sqrt{x^2+y^2}$(笛卡尔坐标系), 在论文中, Bookstein用的是$U(r)=-r^2\ln (r)$, 其目的只是为了可视化方便: In this pose, it appears to be a slightly dented but otherwise convex surface viewed from above(即为了看起来中心X点附近的区域是一种 凹陷(dented) 的感觉).

这个函数天然的满足如下方程:

$${\Delta }^{2}U=(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}{)}^{2}U\propto {\delta }_{(0,0)}$$

公式的左侧和(0,0)的泛函${\delta }_{(0,0)}$等价(泛函介绍如下), ${\delta }_{(0,0)}$是在除了(0,0)处不等于0外, 任何其它位置都为0的泛函, 其积分为1(我猜, 狄拉克δ函数应该可以理解成这个泛函的一个形态).

所以, 由于双调和函数(Biharmonic Equation)的形式就是${\Delta }^{2}U=0$, 那么显然, $U(r)=(\pm )r^2\ln (r)$都满足这个条件, 所以它被成为双调和函数的基础解(fundamental solution).

泛函简单来说, 就是定义域为函数集，而值域为实数或者复数的映射, 从知乎[11]处借鉴来一个泛函的例子：2D平面的两点之间直线距离最短.

如图所示二维平面空间，从坐标原点(0,0)到点(a,b)的连接曲线是 $y=y(x)$, 而连接曲线的微元$\Delta$或者$ds=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx}{)}^{2}dx}$, 对总的长度, 即为$ds$在$[0,a]$上的积分:
$$s={\int }_0^a(1+y^{{}^{\prime }2}{)}^{1/2}dx$$ 这里, $s$是标量(scalar), $y^{{}^{\prime }}(x)$就是泛函(functional), 通常也记作$s(y^{{}^{\prime }})$. 那么上面的问题就转变成: 找出一条曲线$y(x)$，使得泛函$s(y^{{}^{\prime }})$最小.

好的, $U$的来源和定义清楚了, 那么我们的目标是:

给定一组样本点，以每个样本点为中心的薄板样条(TPS)的加权组合给出了精确地通过这些点的插值函数，同时使所谓的弯曲能量(bending energy) 最小化.

那么, 什么是所谓的弯曲能量呢?

1.2 弯曲能量: Bending Energy

根据[1], 弯曲能量在这里定义为二阶导数的平方对实数域$R^2$(在我看来, 这里的$R^2$可以直接理解成2D image的Height and Width, 即高度和宽度)的积分:

$$I[f(x,y)]=\iint (f_{xx}^2+2f_{xy}^2+f_{yy}^2)dxdy$$

优化的目标是要让$I[f(x,y)]$最小化.

好了, 弯曲能量的数学定义到此结束, 很自然的，我们会如下的疑问:

• $f(x,y)$是如何定义的?
• 对图像这样的2D平面, 其样条的加权组合后的弯曲的方向应该是什么样的, 才能使得弯曲能量最小?

首先我们先分析下弯曲的方向的问题, 并在1.4中进行$f(x,y)$定义的介绍.

1.3 弯曲的方向

首先, 回顾一下TPS的命名, TPS起源于一个物理的类比: the bending of a thin sheet of metal (薄金属片的弯曲).

在物理学上来讲, 弯曲的方向(deflection)是$z$轴, 即垂直于2D图像平面的轴.
为了将这个idea应用于坐标转换的实际问题当中, 我们将TPS理解成是将平板进行拉升 or 降低, 再将拉升/降低后的平面投影到2D图像平面, 即得到根据参考图像和目标模板的landmark对应关系进行warping(形变)后的图像结果.

如下所示, 将平面上设置4个控制点, 其中最后一个不是边缘角点, 在做拉扯的时候, 平面就自然产生了一种局部被拉高或者降低的效果.

显然, 这种warping在一定程度上也是一种坐标转换(coordinate transformation), 如下图所示, 给定参考landmark红色$X$和目标点蓝色$⚪$. TPS warping将会将这些$X$完美的移动到$⚪$上.

问题来了, 那么这个$X\to ⚪$移动的方案是如何实现的呢?

1.4 如何实现2D plane的coordinate transformation (a.k.a warping)?

如下图[7], 2D plane上的坐标变换其实就是2个方向的变化: $\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{Y}$方向. 来实现这2个方向的变化, TPS的做法是:

用2个样条函数分别考虑$\mathbf{X}$和$\mathbf{Y}$方向上的位移(displacement).

TPS actually use two splines, 
one for the displacement in the X direction 
and one for the displacement in the Y direction

这2个样条函数的定义如下[7] ($N$指的是对应的landmark数量, 如上图所示, $N=5$):

注意, 每个方向($\mathbf{X},\mathbf{Y}$)的位移($\mathbf{\Delta X},\mathbf{\Delta Y}$)可以被视为$N$个点高度图(height map), 因此样条的就像在3D空间拟合 散点(scatter point) 一样, 如下图所示[7].

在样条函数的定义公式中,

• 前3个系数$a_1,a_x,a_y$表示线性空间的部分(line part), 用于在线性空间拟合$X$ ($x_i,y_i$)和 $⚪$ ($x_i^{{}^{\prime }},y_i^{{}^{\prime }}$).
• 紧接着的系数$w_i,i\in [1,N]$表示每个控制点$i$的kernel weight, 它用于乘以控制点$X$ ($x_i,y_i$)和其最终的$x,y$之间的位移(displacement).
• 最后的一项是$U(||(x_i,y_i)-(x,y)||)$, 即控制点$X$ ($x_i,y_i$)和其最终的$x,y$之间的位移. 需要注意的是, $U(||(x_i,y_i)-(x,y)||)$用的是L2范数[8]. 这里$U$定义如下: $$U(r)=r^2\ln (r)$$ 这里我们需要revisit一下TPS的RBF函数(radial basis function) : $U(r)=r^2\ln (r)$ , 根据[9]所述, 像RBF这种Gaussian Kernel, 是一种用于衡量相似性的方法(Similarity measurement).

1.5 具体计算方案

对于每个方向($\mathbf{X},\mathbf{Y}$)的样条函数的系数$a_1,a_x,a_y,w_i$, 可以通过求解如下linear system来获得:

其中, $K_{ij}=U(||(x_i,y_i)-(x_j,y_j)||)$, $P$的第$i$行是齐次表示$(1,x_i,y_i)$, $O$是3x3的全0矩阵, $o$是3x1的全0列向量, $w$和$v$是$w_i$和$v_i$组成的列向量. $a$是由$[a_1,a_x,a_y]$组成的列向量.

具体地, 左侧的大矩阵形式如下[9-10]:

以N=3(控制点数量为3)为例, $\mathbf{X}$方向的样条函数的线性矩阵表达为:
$$\left[\begin{array}{cccccc}{U}_{11}& U_{21}& U_{31}& 1& x_1& y_1\\ U_{12}& U_{22}& U_{32}& 1& x_2& y_2\\ U_{13}& U_{23}& U_{33}& 1& x_3& y_3\\ 1& 1& 1& 0& 0& 0\\ x_1& x_2& x_3& 0& 0& 0\\ y_1& y_2& y_3& 0& 0& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ w_3\\ a_1\\ a_x\\ a_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1^{{}^{\prime }}\\ x_2^{{}^{\prime }}\\ x_3^{{}^{\prime }}\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

同样地, $\mathbf{Y}$的样条函数的线性矩阵表达为:

$$\left[\begin{array}{cccccc}{U}_{11}& U_{21}& U_{31}& 1& x_1& y_1\\ U_{12}& U_{22}& U_{32}& 1& x_2& y_2\\ U_{13}& U_{23}& U_{33}& 1& x_3& y_3\\ 1& 1& 1& 0& 0& 0\\ x_1& x_2& x_3& 0& 0& 0\\ y_1& y_2& y_3& 0& 0& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ w_3\\ a_1\\ a_x\\ a_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{y}_1^{{}^{\prime }}\\ y_2^{{}^{\prime }}\\ y_3^{{}^{\prime }}\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

显然可见, N+3个函数来求解N+3个未知量, 能得到相应的$\left[\begin{array}{c}w\\ a\end{array}\right]$.

2. 代码实现

我使用的TPS是cheind/py-thin-plate-spline项目[6], 这里会对代码进行详细拆解, 以达到理解公式和实现的对应关系.

2.1 核心计算逻辑

核心逻辑在函数warp_image_cv中: tps.tps_theta_from_points, tps.tps_grid和tps.tps_grid_to_remap,
最基本的示例代码如下:

def show_warped(img, warped, c_src, c_dst):
    fig, axs = plt.subplots(1, 2, figsize=(16,8))
    axs[0].axis('off')
    axs[1].axis('off')
    axs[0].imshow(img[...,::-1], origin='upper')
    axs[0].scatter(c_src[:, 0]*img.shape[1], c_src[:, 1]*img.shape[0], marker='^', color='black')
    axs[1].imshow(warped[...,::-1], origin='upper')
    axs[1].scatter(c_dst[:, 0]*warped.shape[1], c_dst[:, 1]*warped.shape[0], marker='^', color='black')
    plt.show()

def warp_image_cv(img, c_src, c_dst, dshape=None):
    dshape = dshape or img.shape
    theta = tps.tps_theta_from_points(c_src, c_dst, reduced=True)
    grid = tps.tps_grid(theta, c_dst, dshape)
    mapx, mapy = tps.tps_grid_to_remap(grid, img.shape)
    return cv2.remap(img, mapx, mapy, cv2.INTER_CUBIC)

img = cv2.imread('test.jpg')

c_src = np.array([
    [0.44, 0.18],
    [0.55, 0.18],
    [0.33, 0.23],
    [0.66, 0.23],
    [0.32, 0.79],
    [0.67, 0.80],
])

c_dst = np.array([
    [0.693, 0.466],
    [0.808, 0.466],
    [0.572, 0.524],
    [0.923, 0.524],
    [0.545, 0.965],
    [0.954, 0.966],
])


warped_front = warp_image_cv(img, c_src, c_dst, dshape=(512, 512))
show_warped(img, warped1, c_src_front, c_dst_front)

此开源代码有2个版本: numpy和torch. 这里我的分析以numpy版本进行, 以便没有GPU用的朋友进行hands-on的测试.

核心类TPS

class TPS:       
  @staticmethod
   def fit(c, lambd=0., reduced=False):        
      n = c.shape[0]

      U = TPS.u(TPS.d(c, c))
      K = U + np.eye(n, dtype=np.float32)*lambd

      P = np.ones((n, 3), dtype=np.float32)
      P[:, 1:] = c[:, :2]
      v = np.zeros(n+3, dtype=np.float32)
      v[:n] = c[:, -1]

       A = np.zeros((n+3, n+3), dtype=np.float32)
       A[:n, :n] = K
       A[:n, -3:] = P
       A[-3:, :n] = P.T
       theta = np.linalg.solve(A, v) # p has structure w,a
       return theta[1:] if reduced else thete      
       ...
   @staticmethod
   def z(x, c, theta):
       x = np.atleast_2d(x)
       U = TPS.u(TPS.d(x, c))
       w, a = theta[:-3], theta[-3:]
       reduced = theta.shape[0] == c.shape[0] + 2
       if reduced:
           w = np.concatenate((-np.sum(w, keepdims=True), w))
       b = np.dot(U, w)
       return a[0] + a[1]*x[:, 0] + a[2]*x[:, 1] + b

2.2 tps.tps_theta_from_points

此函数的作用是为了求解样条函数的$\left[\begin{array}{c}w\\ a\end{array}\right]$.

def tps_theta_from_points(c_src, c_dst, reduced=False):
    delta = c_src - c_dst
    
    cx = np.column_stack((c_dst, delta[:, 0]))
    cy = np.column_stack((c_dst, delta[:, 1]))
        
    theta_dx = TPS.fit(cx, reduced=reduced)
    theta_dy = TPS.fit(cy, reduced=reduced)

    return np.stack((theta_dx, theta_dy), -1)

1. delta 是 在参考图的控制点和目标模板的控制点之间的插值$\Delta x_i,\Delta y_i$

2. cx和cy是在c_dst的基础上, 分别加了$\Delta x_i$和$\Delta y_i$的列向量

3. theta_dx和theta_dy的reduce参数默认为False/True时. 其结果是1D向量, 长度为9/8 . 其计算过程需要看TPS核心类的fit函数.

① TPS.d(cx, cx, reduced=True) or TPS.d(cy, cy, reduced=True) 计算L2

    @staticmethod
    def d(a, b):
        # a[:, None, :2] 是把a变成[N, 1, 2]的tensor/ndarray
        # a[None, :, :2] 是把a变成[1, N, 2]的tensor/ndarray
        return np.sqrt(np.square(a[:, None, :2] - b[None, :, :2]).sum(-1))

其作用是计算样条中的$||(x_i,y_i)-(x,y)||$ (L2), 得出的结果是shape为$N,N$的中间结果.

② TPS.u(...) 计算$U(...)$

和公式完全一样: $U(r)=r^2\ln (r)$, 为了防止$r$太小, 加了个epsilon系数$1e^{-6}$. 这一步得到$K$, shape仍然是$N,N$, 和①一样.

def u(r):
        return r**2 * np.log(r + 1e-6)

③ 根据cx和cy, 简单拼接即可生成P.

	P = np.ones((n, 3), dtype=np.float32)
	P[:, 1:] = c[:, :2] # c就是cx or cy.

④ 根据$\Delta x_i$ (cx得最后一列向量, cy同理), 得到$v$

    # c = cx or cy
    v = np.zeros(n+3, dtype=np.float32)
    v[:n] = c[:, -1]

⑤ 组装矩阵A, 即[10]论文中的$L$矩阵.

     A = np.zeros((n+3, n+3), dtype=np.float32)
     A[:n, :n] = K
     A[:n, -3:] = P
     A[-3:, :n] = P.T

⑥ 现在$L$和$Y$已知, $Y=\left[\begin{array}{c}v\\ o\end{array}\right]$, 那么$W$和$a_1,a_x,a_y$的向量可以直接线性求解

$\left[\begin{array}{c}w\\ a\end{array}\right]$ = $L^{-1}$$Y$

class TPS:       
    @staticmethod
    def fit(c, lambd=0., reduced=False):
        # 1. TPS.d
        U = TPS.u(TPS.d(c, c))
        K = U + np.eye(n, dtype=np.float32)*lambd

        P = np.ones((n, 3), dtype=np.float32)
        P[:, 1:] = c[:, :2]

        v = np.zeros(n+3, dtype=np.float32)
        v[:n] = c[:, -1]

        A = np.zeros((n+3, n+3), dtype=np.float32)
        A[:n, :n] = K
        A[:n, -3:] = P
        A[-3:, :n] = P.T

        theta = np.linalg.solve(A, v) # p has structure w,a
        return theta[1:] if reduced else theta
        
    @staticmethod
    def d(a, b):
        return np.sqrt(np.square(a[:, None, :2] - b[None, :, :2]).sum(-1))

    @staticmethod
    def u(r):
        return r**2 * np.log(r + 1e-6)

即函数返回的theta就是$\left[\begin{array}{c}w\\ a\end{array}\right]$. 由于我们是2个方向(X, Y)都要这个theta, 因此

theta = tps.tps_theta_from_points(c_src, c_dst)

返回的theta是$(N+3,2)$的形式.

2.3 tps.tps_grid

此函数是为了求解image plane在x和y方向上的偏移量(offset).

def warp_image_cv(img, c_src, c_dst, dshape=None):
    dshape = dshape or img.shape
    # 2.2
    theta = tps.tps_theta_from_points(c_src, c_dst, reduced=True)
    # 2.3
    grid = tps.tps_grid(theta, c_dst, dshape)
    # 2.4
    mapx, mapy = tps.tps_grid_to_remap(grid, img.shape)
    return cv2.remap(img, mapx, mapy, cv2.INTER_CUBIC)

由核心代码部分可以看出, 当求出theta, 也就是$\left[\begin{array}{c}w\\ a\end{array}\right]$. 我们下面用tps_grid函数进行网格的warping操作.

函数如下:

def tps_grid(theta, c_dst, dshape):
    # 1) uniform_grid(...)    
    ugrid = uniform_grid(dshape)

    reduced = c_dst.shape[0] + 2 == theta.shape[0]
    # 2) 求dx和dy.
    dx = TPS.z(ugrid.reshape((-1, 2)), c_dst, theta[:, 0]).reshape(dshape[:2])
    dy = TPS.z(ugrid.reshape((-1, 2)), c_dst, theta[:, 1]).reshape(dshape[:2])
    dgrid = np.stack((dx, dy), -1)

    grid = dgrid + ugrid
    
    return grid # H'xW'x2 grid[i,j] in range [0..1]

其输入是3个参数:

• theta reduced=True(N+2, 2) or reduced=False (N+3, 2)
• c_dst (N, 2), 是目标模板上的control points or landmarks.

 c_dst = np.array([
    [0.693, 0.466],
    [0.808, 0.466],
    [0.572, 0.524],
    [0.923, 0.524],
    [0.545, 0.965],
    [0.954, 0.966],
])

• dshape (H, W, 3), 是给定参考图像的分辨率.

输出是1个:

• grid (H, W, 2).
  其可视化效果见2.3.1.

2.3.1 uniform_grid

tps.tps_grid函数的第一步是ugrid = uniform_grid(dshape), 此函数的定义如下, 作用是创建1个$(H,W,2)$的grid, 里面的值都是0到1的线性插值np.linspace(0, 1, W(H)).

def uniform_grid(shape):
    '''Uniform grid coordinates.
    '''

    H,W = shape[:2]    
    c = np.empty((H, W, 2))
    c[..., 0] = np.linspace(0, 1, W, dtype=np.float32)
    c[..., 1] = np.expand_dims(np.linspace(0, 1, H, dtype=np.float32), -1)

    return c

返回的ugrid就是一个$(H,W,2)$的grid, 其X, Y方向值的大小按方向线性展开, 如下图所示.

X方向

Y方向

2.3.2 TPS.z求解得到dx和dy

 # 2) 求dx和dy.
 dx = TPS.z(ugrid.reshape((-1, 2)), c_dst, theta[:, 0]).reshape(dshape[:2]) # [H, W]
 dy = TPS.z(ugrid.reshape((-1, 2)), c_dst, theta[:, 1]).reshape(dshape[:2]) # [H, W]
 dgrid = np.stack((dx, dy), -1)  # [H, W, 2]

 grid = dgrid + ugrid

由下面的TPS.z定义容易看出, 这个函数就是求解X和Y方向的样条函数.

可能让人有困惑的点是说, 为什么在2.2的时候, TPS.d()的传参是一样的(cx(cy)), 而这里的x是shape为(H*W), 2, 而c仍旧是c_dst (N,2), 我的理解是说, 由于2.3这一步的目标是为了真正的让image plane按照控制点的位置进行移动(最小化弯曲能量), 所以通过ugrid均匀对平面采样的点进行offset计算(dx和dy), 使其得到满足推导条件下的offset解析解dgrid.

class TPS:
    ...
    @staticmethod
    def z(x, c, theta):
        x = np.atleast_2d(x)
        U = TPS.u(TPS.d(x, c)) # [H*W, N] 本例中H=W-800, N=6
        w, a = theta[:-3], theta[-3:]
        reduced = theta.shape[0] == c.shape[0] + 2
        if reduced:
            w = np.concatenate((-np.sum(w, keepdims=True), w))
        b = np.dot(U, w)
        return a[0] + a[1]*x[:, 0] + a[2]*x[:, 1] + b

所以对ugrid+dgrid, 即得到整个图像平面按照样条函数计算出来的$dx,dy$(offset)加到均匀的ugrid的结果: 显然可以看出, 这个结果相比2.3.1的ugrid, 在$\mathbf{X},\mathbf{Y}$方向有了相应的变化.

X方向


Y方向

到这里, 2.3这步返回的其实就是一个在$\mathbf{X},\mathbf{Y}$方向相应扭曲的grid(格子) $(H,W,2)$, 其可视化结果如上, 值的范围都在 -1到1 之间.

2.4 tps.tps_grid_to_remap

这一步很简单了, 就是把2.3计算得到的**grid(格子)**按$\mathbf{X},\mathbf{Y}$方向分别乘以对应的$W$和$H$. 然后送去cv2.remap函数进行图像的扭曲操作.

def warp_image_cv(img, c_src, c_dst, dshape=None):
    dshape = dshape or img.shape
    # 2.2
    theta = tps.tps_theta_from_points(c_src, c_dst, reduced=True)
    # 2.3
    grid = tps.tps_grid(theta, c_dst, dshape)
    # 2.4
    mapx, mapy = tps.tps_grid_to_remap(grid, img.shape)
    return cv2.remap(img, mapx, mapy, cv2.INTER_CUBIC)

2.4.1 tps_grid_to_remap 简单的把grid乘以宽和高

def tps_grid_to_remap(grid, sshape):
    '''Convert a dense grid to OpenCV's remap compatible maps.
    Returns
    -------
    mapx : HxW array
    mapy : HxW array
    '''
    mx = (grid[:, :, 0] * sshape[1]).astype(np.float32)
    my = (grid[:, :, 1] * sshape[0]).astype(np.float32)

    return mx, my

2.4.2 cv2.remap(img, mapx, mapy, cv2.INTER_CUBIC) 得到warp后的结果.

cv2.remap是允许用户自己定义映射关系的函数, 不同于通过变换矩阵进行的仿射变换和透视变换, 更加的灵活, TPS就是使用的这种映射. 具体示例参考[12].

需要注意的是, 这个结果之所以和前言中的不一样, 是因为在前言里, 我们用了mask来做遮罩.

总结

到这里, TPS的分析就告一段落了, 这种算法是瘦脸, 纹理映射等任务中最常见的, 也是很灵活的warping算法, 目前还仍然在广泛使用, 如果文章哪里写的有谬误或者问题, 欢迎大家在下面指出,
感谢 ^ . ^

参考文献

1. Thin Plate Spline: MathWorld
2. Biharmonic Equation: MathWorld
3. c0ldHEart: Thin Plate Spline TPS薄板样条变换基础理解
4. MIT: WarpMorph
5. Approximation Methods for Thin Plate Spline Mappings and Principal Warps
6. cheind/py-thin-plate-spline
7. Thin-Plate-Splines-Warping
8. Wikipedia: Thin plate spline
9. Deep Shallownet: Radial Basis Function Kernel - Gaussian Kernel
10. Bookstein: Principle Warps: Thin Plate Splines and the Decomposition of Deformations
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