Python 求积分

news2024/9/19 9:24:56

文章目录

Part.I Introduction
Part.II 基础知识
- Chap.I 特殊量的表示
- Chap.II integrate 函数简析
Part.III 实例
- Chap.I 一重积分
- Chap.II 二重积分
Reference

Part.I Introduction

高中及大学时代，苦『积分』久矣，当时如掌握了此『黑科技』，课堂作业岂不是秒秒钟搞定。本文将介绍如何用 Python 求积分，包括求一重积分、二重积分等等。

在这里插入图片描述

需要的包有

sympy：符号工具包
scipy：科学计算包

from sympy import *
from scipy.stats import *

Part.II 基础知识

在正式开始之前，首先需要了解下面的一些基础知识。

Chap.I 特殊量的表示

在求积分的过程中，会用到许多像『无穷大』、『PI』等特数量，它们在sympy库中是如何表示的呢？下面一个表格对它们进行了汇总

代码表示	符号	含义
pi	$\pi$	圆周率
oo	$\infty$	无穷大
-oo	$-\infty$	负无穷大
exp(x)	$e^x$	自然常数的 x 次幂
log(x)	$l n (x)$	以自然常数为底的对数 $log_ex$
erf(x)	$\operatorname{erf}(x)$	误差函数 $\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x} e^{-t^2}dt$
erfc(x)	$\operatorname{erfc}(x)$	误差函数补 $\operatorname{erfc}(x)=1-\operatorname{erfc}(x)$
erfi(x)	$\operatorname{erfci}(x)$	虚误差函数 $\operatorname{erfci}(x)=-i\operatorname{erf}(ix)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{t^2}dt$

Chap.II integrate 函数简析

求积分的函数 integrate() 在scipy 包中被定义，它的常用方法汇总如下表所示

代码	含义
`integrate(f(x),x)`	计算不定积分 $\int f(x)dx$
`integrate(f(x),(x,a,b))`	计算定积分 $\int_a^b f(x)dx$
`integrate(f(x,y),x,y)`	计算双重不定积分 $\int \int\ f(x,y)dxdy$
`integrate(f(x,y),(x,a,b),(y,c,d))`	计算双重定积分 $\int_c^d \int_a^b\ f(x,y)dxdy$

更高重积分同理

Part.III 实例

这部分介绍几个求积分的实例。

Chap.I 一重积分

求不定积分

求下面的不定积分
$F(x)=\int \frac{xe^x}{(e^x+1)^2} \ dx$
代码如下

def singleIntegral_a():
    """ 一重不定积分 """
    x = symbols('x')
    print(integrate(x*exp(x)/(exp(x)+1)**2, x))
    return

结果为

x - x/(exp(x) + 1) - log(exp(x) + 1)

即
$F(x)=x-\frac{x}{e^x+1}-ln\left( e^x+1 \right)$

求定积分
$F(x)=\int_0^1 x^2+e^x+1 \ dx$
代码如下

def singleIntegral_b():
    """ 一重定积分 """
    x = symbols('x')
    fmt=integrate(x**2 + exp(x) + 1, (x, 0, 1))
    print(fmt)
    print(fmt.evalf())
    return

结果为

1/3 + E
3.05161516179238

Chap.II 二重积分

求不定积分
$\int e^{x^2+y^2}\ dx$
代码如下：

def doubleIntegral_a():
    """ 二重不定积分 """
    x, y = symbols('x y')
    fmt = integrate(exp(x**2+y**2),x,y)
    print(fmt)
    #print(fmt.evalf())
    return

结果为

pi*erfi(x)*erfi(y)/4

即
$F(x)=\frac{\pi}{4}\cdot\operatorname{erfci}(x)\cdot\operatorname{erfci}(y)$

如果设定范围 $x\in[0,1],\ y\in[1,2]$ ，则代码为

def doubleIntegral_a():
    """ 二重不定积分 """
    x, y = symbols('x y')
    fmt = integrate(exp(x**2+y**2),(x, 0, 1), (y, 1, 2))
    print(fmt)
    print(fmt.evalf())
    return

结果为

-pi*erfi(1)**2/4 + pi*erfi(1)*erfi(2)/4
21.9251145961748

求定积分
$F(x)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{3-2y}xy\ dxdy$
代码如下：

def doubleIntegral_b():
    """ 二重定积分 """
    x, y = symbols('x y')
    fmt = integrate(x * y, (x, 0, 3 - 2*y), (y, 0, 1))
    print(fmt)
    print(fmt.evalf())
    return