列主元消去法

1. 构建增广矩阵： 将线性方程组写成矩阵形式 𝐴𝑋=𝐵，并将系数矩阵 𝐴与常数向量 𝐵组成增广矩阵 [𝐴∣𝐵]。
2. 选择主元： 对于当前列，从当前行到最后一行，选择绝对值最大的元素作为主元，以减少数值误差。如果主元在当前行，直接使用；否则交换当前行与主元所在行。
3. 消去： 使用主元所在行对其以下的所有行进行消去操作，使得当前列在主元以下的所有元素都变为零。这是通过将主元所在行乘以某个系数再加到目标行上来实现的。
4. 重复步骤2和3： 对于剩余的子矩阵（从当前行的下一行和下一列开始），重复步骤2和3，直到处理完所有行或列。
5. 回代求解： 经过前向消去步骤后，增广矩阵已经变为上三角矩阵形式。接下来，从最后一行开始，逐行回代求解，得到未知数的值。

让我们举个栗子O(∩_∩)O

eg：用列主元消元法求解以下线性方程组

矩阵三角分解法

核心：通过将系数矩阵分解为上下三角矩阵的乘积来简化求解过程

step1：将线性方程组𝐴𝑋=𝐵中的系数矩阵A分解为𝐴=𝐿𝑈，其中，L是单位下三角矩阵(对角线元素为1的下三角矩阵)，U是上三角矩阵。

step2：分解后，𝐴𝑋=𝐵等价于

$\{\begin{array}{l}Ly=b\\ Ux=y\end{array}$

step3：通过Ly=b解得y=y*，然后将y=y*代入Ux=y解得x。

补充：
矩阵的LU分解定理：如果系数矩阵A的顺序主子式D_i≠0(i=1,2,…,n)，则A可分解为一个单位下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的。

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eg：用矩阵三角分解法求解以下线性方程组