引言

今天来给大家介绍一下Polar vector和axial vector，即极矢量和轴向矢量。

Polar vector

中文翻译

极矢量

定义

第一种

在基础数学中，polar vector被用来表示一个极矢量，该矢量有大小和方向，等同于在极坐标中指定它的端点。

如下图所示：

第二种

在物理上，polar vector是一种类似于radius vector的矢量，事实上，polar vector包含radius vector。当坐标系反转的时候，矢量$\vec{r}$也会反转符号。polar vector就是我们常常说到的矢量。

polar vector在坐标轴反演时，它会被转化它的negative形式(相反形式，在原有矢量基础上添加一个负号)。

第三种

polar vector描述的是一个有着起始点的平移运动。

性质

通过定义不难看出，polar vector就是我们中文中通常说到的矢量，它是具有平移不变性的，即当仅涉及到线性作用时，矢量本身与参考系的选择无关。且该类矢量在镜像反射时具有不变性。如下图所示：

可以看到，在镜像反射后，矢量$y$还等于矢量$x$与矢量$z$的和。

举例

常见的极矢量包括$\vec{r}$，速度矢量$\vec{v}$，动量矢量$\vec{p}$和力矢量$\vec{F}$。

Axial vector

中文翻译

轴向矢量，事实上它还有一个英文叫法是pseudovectors，中文翻译为伪矢量。

定义

Axial vector描述的是旋转运动，并沿着旋转轴作用。我们通常使用右手螺旋定则来判断。

性质

相比于polar vector，伪矢量在坐标轴反转的时候，它本身的符号不会变成相反的符号，即维持原来的符号。详情见下图：

可以看到，当矢量$x$和矢量$y$进行反转时，矢量$z$的方向不变化。

举例

角速度矢量$\omega$，角动量矢量$\vec{L}$，扭矩$\vec{\tau }$，辅助磁场$\vec{H}$和磁单极子动量$\vec{m}$都是伪矢量。

讨论

任意两个极矢量的叉乘是一个伪矢量。即：
$$\begin{array}{c}\vec{A}\times \vec{B}\end{array}$$
任意三个极矢量的叉乘时一个极矢量，即：
$$\begin{array}{c}\vec{A}\times \left(\vec{B}\times \vec{C}\right)\end{array}$$
进一步我们可以推出一下性质：
$$\begin{array}{rl}\left[\text{pseudovectors}\right]\times \left[\text{pseudovectors}\right]& =\left[\text{pseudovectors}\right]\\ \left[\text{vector}\right]\times \left[\text{pseudovectors}\right]& =\left[\text{vector}\right]\end{array}$$

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