文章目录
- 为什么需要插值算法？
- 插值算法是什么？
- 有哪些常见的插值算法呢？
- 1. 线性插值（Linear Interpolation）
- 2. 多项式插值（Polynomial Interpolation）
- 3. 样条插值（Spline Interpolation）
- 4. 最近邻插值（Nearest-Neighbor Interpolation）
- 5. 双线性插值（Bilinear Interpolation）
- 6. 双三次插值（Bicubic Interpolation）
- 7. 克里金插值（Kriging Interpolation）
- 直线如何线性插值？
- 1、暴力法
- 2、优化法
- 效果展示：
- 结尾：喜欢的小伙伴可以点点关注+赞哦
为什么需要插值算法？
不说大道理，承接上文直线光栅化。已知屏幕两个点，计算出以这两点为端点的直线经过的所有像素，准确的说是像素点的坐标；但是，像素是有颜色属性的，端点的颜色已知，但是中间点颜色是未知的，这时候为了给这些中间点补充颜色属性，就需要引入插值算法，在这个场景下就叫直线的线性插值！
插值算法是什么？
插值算法是一种通过已知数据点值来估计未知数据点值的方法。基本思想：基于已知数据点构建一个函数，该函数能够通过这些点，并估计这些点之间的值！
有哪些常见的插值算法呢？
1. 线性插值（Linear Interpolation）
线性插值是一种最简单的插值方法，它假设两个相邻点之间的函数变化是线性的。即，对于两个已知数据点
(
x
0
,
y
0
)
,
(
x
1
,
y
1
)
(x_0,y_0),(x_1,y_1)
(x0,y0),(x1,y1) ，插值点
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y) 可以通过以下公式计算：
y
=
y
0
+
(
y
1
−
y
0
)
(
x
−
x
0
)
(
x
1
−
x
0
)
y = y_0 + \frac{(y_1-y_0)(x-x_0)}{(x_1-x_0)}
y=y0+(x1−x0)(y1−y0)(x−x0)
线性插值简单且计算快速，但它只能在两个已知点之间产生线性估计，可能不适用于变化较复杂的数据。
2. 多项式插值（Polynomial Interpolation）
多项式插值使用一个多项式函数来通过所有已知数据点。拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）和牛顿插值（Newton Interpolation）是两种常见的多项式插值方法。对于 𝑛+1个数据点，可以找到一个 𝑛 次多项式通过这些点：
P
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
.
.
.
+
a
n
x
n
P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n
P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
多项式插值可以提供更精确的估计，但当点数较多时，高次多项式可能出现震荡现象（龙格现象）。
3. 样条插值（Spline Interpolation）
样条插值使用低次多项式段（通常是三次样条）连接所有数据点，同时确保在每个数据点处多项式的连续性和光滑性。三次样条插值常用于曲线拟合和图形处理。
4. 最近邻插值（Nearest-Neighbor Interpolation）
最近邻插值使用距离目标点最近的已知点的值作为估计值。这种方法简单且计算快速，但可能会导致不连续和不平滑的结果。
5. 双线性插值（Bilinear Interpolation）
双线性插值用于二维数据网格，它在每个方向上进行线性插值。对于四个相邻点，插值点的值通过对两个方向的线性插值计算得出。它常用于图像处理中的像素值插值。
6. 双三次插值（Bicubic Interpolation）
双三次插值使用三次多项式进行插值，比双线性插值能产生更平滑的结果。它通常用于高质量图像缩放。
7. 克里金插值（Kriging Interpolation）
克里金插值是一种地统计学方法，基于已知点的统计性质进行插值。它考虑了空间自相关性，常用于地理信息系统（GIS）和环境科学。
直线如何线性插值？
问题描述：已知直线起始端点 p 0 = ( x 0 , y 0 ) p_0 = (x_0, y_0) p0=(x0,y0) ， p 1 = ( x 1 , y 1 ) p_1 = (x_1, y_1) p1=(x1,y1)， f ( p 0 ) = v 0 f(p_0) = v_0 f(p0)=v0 ， f ( p 1 ) = v 1 f(p_1) = v_1 f(p1)=v1，求直线上任意一点 p = ( x , y ) p=(x,y) p=(x,y)， f ( p ) = ? f(p) = ? f(p)=?
1、暴力法
算法步骤描述：
-
计算 p 0 p_0 p0 到 p 1 p_1 p1 的距离，记为 d d d
-
计算 p p p 到 p 0 p_0 p0 和 p 1 p_1 p1 的距离，分别记为 d 0 d_0 d0 和 d 1 d_1 d1
-
计算权值 w e i g h t = d 0 / d weight = d_0 / d weight=d0/d
-
计算 p p p点的属性值 f ( p ) = w e i g h t ∗ f ( p 1 ) + ( 1 − w e i g h t ) ∗ f ( p 0 ) f(p) = weight * f(p_1) + (1 - weight) * f(p_0) f(p)=weight∗f(p1)+(1−weight)∗f(p0)
如图所示：
2、优化法
本质思路：计算点和点的距离是比较耗时的，咱们可以用初中数学知识，相似三角形从而简化问题的计算，提高性能！
算法步骤描述：
-
计算 d x = x 1 − x 0 d_x = x_1 - x_0 dx=x1−x0 和 d y = y 1 − y 0 d_y = y_1 - y_0 dy=y1−y0 ，咱们假设 d x ! = 0 d_x != 0 dx!=0 其实y方向也是类似同理
-
计算 d p = x − x 0 d_p = x - x_0 dp=x−x0
-
计算权值 w e i g h t = d p / d x weight = d_p / d_x weight=dp/dx
-
计算 p p p点的属性值 f ( p ) = w e i g h t ∗ f ( p 1 ) + ( 1 − w e i g h t ) ∗ f ( p 0 ) f(p) = weight * f(p_1) + (1 - weight) * f(p_0) f(p)=weight∗f(p1)+(1−weight)∗f(p0)
如图所示：
效果展示：
咱们用一个从红色到绿色的直线，上效果图：
结尾：喜欢的小伙伴可以点点关注+赞哦
希望对各位小伙伴能够有所帮助哦，永远在学习的道路上伴你而行， 我是航火火，火一般的男人！
