数据结构（3）线段树基础

news2024/12/28 2:23:51

活动 - AcWing

参考《算法竞赛进阶指南》-lyd

一、概述

1.简述、所需空间

线段树是一种基于分治思想的二叉树结构，用于区间上的信息统计。与树状数组相比，线段树是一种更通用的数据结构。

线段树每个节点代表一个区间。线段树具有唯一根节点，代表整个统计区间。

叶节点代表一个长度为1的元区间。

对于每个内部节点，它的左子节点是[l,mid],右子节点是[mid+1,r]，其中mid=（l+r）/2向下取整。

上图展示了一棵线段树，可以发现除去树的最后一层，整棵线段树一定是一棵完全二叉树。

深度为logn。因此我们可以按照静态链表的“父子2倍”的结点编号方法。

这样就可以用一个结构体存储线段树结点。

理想情况下：N个结点的满二叉树有N+N/2+N/4+....+2+1=2N-1。但是要空出最后一层的空余，因此保存线段树的数组长度不能小于4*N。才能保证数组不会越界。

2.相关操作

线段树基本用途是对序列进行维护。线段树的二叉树结构可以很方便的从下到上传递信息。以区间最大值为例

（1）线段树的建树

首先定义节点结构体

struct Node{
    int l,r;
    int d;
}tr[4*N];

建树操作：即根据原始序列建树，使得tr数组内节点l，r能够被初始化，d根据原始序列被初始化。

思想：信息从上到下传递，因此采用递归思想。传入当前节点的编号，设定l，r。然后折半递归左右子树，最后根据左右子树信息修改当前节点信息。递归边界条件是递归到叶子节点。

void pushup(Node &u,Node &l,Node &r)
{
    u.d=max(l.d,r.d);
}

void pushup(int u)
{
    pushup(tr[u],tr[u<<1],tr[u<<1|1]);
}


void build(int u,int l,int r)
{
    if(l==r) tr[u]={l,r,w[r]};
    else
    {
        tr[u]={l,r};
        int mid=l+r>>1;
        build(u<<1,l,mid);
        build(u<<1|1,mid+1,r);
        pushup(u);
    }
}

（2）单点修改

和树状数组类似，单点修改之后一步步递归回去。

首先递归边界是递归到目标叶子节点，修改之后return

如果不是叶子节点，则判断目标节点在左半边还是右半边，递归目标区间。

递归之后根据子节点信息修改当前节点信息。

void modify(int u,int x,int v)
{
    if(tr[u].l==tr[u].r) tr[u].d=v;
    else
    {
        int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
        if(x<=mid) modify(u<<1,x,v);
        else modify(u<<1|1,x,v);
        pushup(u);
    }
}

 (3)区间查询

过程和复杂度分析：
对于一个Node节点,范围是[p1,p2]，可能有以下情况：

  1. l<=p1<=p2<=r，即查询区间完全覆盖当前节点，则直接返回上该节点信息
  2. 如果只有l在节点之内： 
    1. l>mid，则说明只会继续递归右子树
    2. l<=mid，则只会递归左子树。                
  3. 如果只有r在节点之内，则与2情况类似
  4. 如果l和r都在节点之内，
    1. 如果l，r都在mid左侧或右侧，则只会递归一棵子树
    2. 如果分别在两侧，则递归左右子树。

那么只有4(2)情况会分别递归左右两颗子树，而这种情况最多发生一次，因为这之后在节点上就会变成2或3情况。因此查询复杂度为O（2logn）。

二、例题

1.最大数

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 200010;

int m, p;
struct Node
{
    int l, r;
    int v;  // 区间[l, r]中的最大值
}tr[N * 4];

void pushup(int u)  // 由子节点的信息，来计算父节点的信息
{
    tr[u].v = max(tr[u << 1].v, tr[u << 1 | 1].v);
}



void build(int u, int l, int r)
{
    tr[u] = {l, r};
    if (l == r) return;
    int mid = l + r >> 1;
    build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
}


int query(int u, int l, int r)
{
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].v;   // 树中节点，已经被完全包含在[l, r]中了

    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    int v = 0;
    if (l <= mid) v = query(u << 1, l, r);
    if (r > mid) v = max(v, query(u << 1 | 1, l, r));

    return v;
}

void modify(int u,int x,int v)
{
    if(tr[u].l==tr[u].r) tr[u].v=v;

    else 
    {
        int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
        if(x<=mid) modify(u<<1,x,v);
        else modify(u<<1|1,x,v);
        pushup(u);
    }

}
int main()
{
    cin>>m>>p;
    int last=0;
    build(1,1,m);
    int n=0;
    while(m--)
    {
        char op[2];
        int x;
        cin>>op>>x;
        if(*op=='Q')
        {
            last=query(1,n-x+1,n);
            cout<<last<<endl;
        }
        else
        {
            modify(1,n+1,((LL)last+x)%p);
            n++;
        }
    }
    return 0;
}

作者：yankai
链接：https://www.acwing.com/activity/content/code/content/5199364/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

2.你能回答这些问题吗

 查询最大连续子段和。是区间信息，所以考虑线段树。

那么我们就要考虑如何状态转移，即如何用子节点的值更新父节点。

在线段树的每个节点上，除了区间端点外，我们需要再维护4个信息：区间sum，区间最大连续子段和tmax，紧靠左端的最大连续子段和lmax，紧靠右端的最大连续子段和rmax。

线段树的整体框架不变，只需要完善build和modify函数中从下往上传递的信息。

void pushup(Node &u,Node &l,Node &r)
{
    u.sum=l.sum+r.sum;
    u.lmax=max(l.lmax,l.sum+r.lmax);
    u.rmax=max(r.rmax,r.sum+l.rmax);
    u.tmax=max(max(l.tmax,r.tmax),l.rmax+r.lmax);
}

void pushup(int u)
{
    pushup(tr[u],tr[u<<1],tr[u<<1|1]);
}

完整代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N =500010;

struct Node{
    int l,r;
    int sum,lmax,rmax,tmax;
}tr[4*N];

int n,m;
int w[N];

void pushup(Node &u,Node &l,Node &r)
{
    u.sum=l.sum+r.sum;
    u.lmax=max(l.lmax,l.sum+r.lmax);
    u.rmax=max(r.rmax,r.sum+l.rmax);
    u.tmax=max(max(l.tmax,r.tmax),l.rmax+r.lmax);
}

void pushup(int u)
{
    pushup(tr[u],tr[u<<1],tr[u<<1|1]);
}

void build(int u,int l,int r)
{
    if(l==r) tr[u]={l,r,w[r],w[r],w[r],w[r]};
    else
    {
        tr[u]={l,r};//注意要更新l，r
        int mid=l+r>>1;
        build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);
        pushup(u);
    }
}

void modify(int u,int x,int v)
{
    if(tr[u].l==tr[u].r) tr[u]={x,x,v,v,v,v};
    else
    {
        int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
        if(x<=mid) modify(u<<1,x,v);
        else modify(u<<1|1,x,v);
        pushup(u);
    }
}
Node query(int u,int l,int r)
{
    //if(tr[u].l==tr[u].r) return tr[u];  第一次写错的地方
    if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r) return tr[u];
    else
    {
        int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
        if(l>mid) return query(u<<1|1,l,r);
        else if(r<=mid) return query(u<<1,l,r);
        else
        {
            auto left=query(u<<1,l,r);
            auto right=query(u<<1|1,l,r);
            Node res;
            pushup(res,left,right);
            return res;
        }
    }
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
    build(1,1,n);
    int k,x,y;
    while(m--)
    {
        cin>>k>>x>>y;
        if(k==1)
        {
            if(x>y) swap(x,y);
            cout<<query(1,x,y).tmax<<endl;
        }
        else
            modify(1,x,y);
    }
    return 0;

}

作者：yankai
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著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

3.区间最大公约数

 区间修改和区间查询。

首先思考一下能不能把区间修改转变为单点修改。根据“更相减损术”：gcd(x,y)=gcd(x,y-x)

可以证明对多个整数仍然成立：

 

 d能整除a1 a2-a1  则d能整除a1+（a2-a1）

所以

 因此（差分序列的最大公约数和原数组区间左端）最大公约数 等于原数组的区间最大公约数（具体如上图）。

所以我们构建差分序列b。b[1]可为任意值，用线段树维护序列b的区间最大公约数。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N =500010;
typedef long long LL;

int n,m;
struct Node{
    int l,r;
    LL sum,d;
}tr[4*N];
LL w[N];

LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

void pushup(Node &u,Node &l,Node &r)
{
    u.sum=l.sum+r.sum;
    u.d=gcd(l.d,r.d);
}
void pushup(int u)
{
    pushup(tr[u],tr[u<<1],tr[u<<1|1]);
}


void build(int u,int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
        LL b=w[l]-w[l-1];
        tr[u]={l,r,b,b};
    }
    else
    {
        tr[u].l=l,tr[u].r=r;
        int mid=l+r>>1;
        build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);
        pushup(u);
    }
}

void modify(int u,int x,LL v)
{
    if(tr[u].l==tr[u].r) 
    {
        LL b=tr[u].sum+v;
        tr[u]={x,x,b,b};
    }
    else
    {
        int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
        if(x<=mid) modify(u<<1,x,v);
        else modify(u<<1|1,x,v);
        pushup(u);
    }

}

Node query(int u,int l,int r)
{
    if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r) return tr[u];
    else
    {
        int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
        if(r<=mid) return query(u<<1,l,r);
        else if(l>mid) return query(u<<1|1,l,r);
        else
        {
            auto left=query(u<<1,l,r);
            auto right=query(u<<1|1,l,r);
            Node res;
            pushup(res,left,right);
            return res;
        }
    }
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
    build(1,1,n);

    int l,r;
    LL d;
    char op[2];

    while(m--)
    {
        cin>>op>>l>>r;
        if(*op=='Q')
        {
            auto left=query(1,1,l);
            Node right={0,0,0,0};
            if(l+1<=r) right=query(1,l+1,r);
            cout<<abs(gcd(left.sum,right.d))<<endl;
        }
        else
        {
            cin>>d;
            modify(1,l,d);
            if(r+1<=n) modify(1,r+1,-d);
        }
    }
    return 0;
}

作者：yankai
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