1. 卡尔曼解决什么问题

        比较经典的说法是，卡尔曼滤波适用于任何带有不确定性的系统中。那么我们怎么来理解这种不确定性呢？具体来讲，包含以下几种情况。

1. 当前系统不存在完美的数学表达模型，即不能够通过一些数学方式来表达这个系统。
2. 当前系统是不可控的，即其中的状态不能通过外部手段来实现精准控制；
3. 当前系统的状态是不能通过外部手段来精准测量的。

        总结一下，如果一个系统不可表达、不可测量也不可控制，那么可以考虑使用卡尔曼滤波来跟踪系统的状态。

2. 卡尔曼滤波的基础理论依据

        卡尔曼本质上是一种递归算法，即当前状态可以通过估计下一时刻的状态，或者说当前时刻的状态与上一时刻的状态有关联，可以表达为如下的形态。

其中，为t时刻的估计状态，为t-1时刻的状态，k为某种定义的系数，为估计误差。

具体到卡尔曼滤波中来，可以用下面的公式来表达。

,

        其中k为卡尔曼增益，为观测量与预测值的误差。

        在后面的讲解中，我们会发现，参与卡尔曼最优估计计算的并不止形如的观测量与预测量的差，而是需要将状态空间投影到测量空间，在进行误差的计算。

举例来讲：

        对于一个静止的目标，我们需要经过多次测量来获得距离值，那么我们的状态空间和测量空间是一致的，那么我们的误差就可以是观测值与预测值的差，这个时候就是形如的计算。

        对于跟踪这个场景，观测点和目标一般是相对移动的，状态空间在设计时与观测空间并不一致，会引入一些运行类型的过程误差，那么我们在计算的时候，需要先进行状态空间与测量空间的转换，得到估计的测量量，然后再进行相应误差的计算。这个时候就是形如的计算。

这个误差很重要，实际上卡尔曼滤波是围绕这个误差在进行循环递推的计算。

3. 递推公式推导

        举一个简单的例子，来演示递推公式的推导。

假如我们需要测量某一物体的长度，这时候我们可以采取多次测量取平均的方式进行，在这里我们要关注两点

（1）我们使用池子进行测量，尺子本身可能不准；

（2）平均值本身就是一种估计值。

假设是第k次的测量值，那么我们可以这样取平均。

我们令，得到如下的公式：

，K为卡尔曼增益。

我们称上述公式为最优估计公式，这一公式便是卡尔曼黄金五公式之一。