图论-最短路算法

news2025/1/16 18:04:30

1. Floyd算法

作用：用于求解多源最短路，可以求解出任意两点的最短路

利用动态规划只需三重循环即可（动态规划可以把问题求解分为多个阶段）
定义dp[k][i][j]表示点i到点j的路径（除去起点终点）中最大编号不超过k的情况下，点i到点j的最短距离。
当加入第k个点作为i到j的中间点： $dp[k]][i][j] = min(dp[k - 1]][i][j]], dp[k - 1][i][k] + dp[k - 1][k][j])$

发现可以使用滚动数组优化第一维度：

$dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j])$

枚举所有k，判断是否可以作为中间点，可以作为中间点则优化最短路。

初始化：如果<i, j>无边，则dp[i][j] = INF，有边则等于边权；dp[i][i] = 0（自己到自己是不用走的）

为了理解更深刻，简单举个例子：

各点之间的关系用邻接矩阵保存（下图中又两个邻接矩阵，一个是两点之间的最短距离，还有一个是两点之间的最短路中经过的节点。）

更新

每次基于之前能找到的最短路径，如果比它短就更新。

以2号节点作为中转站是基于1号节点作为中转站的，经过n轮递推就可以得到最终答案（任意两点的最短路）

例题：

蓝桥1121

为什么先遍历k，之后遍历i，j？

因为要符合顺序，遍历完中间点后，就要遍历邻接矩阵，进行最短距离的更新。

import os
import sys

# 请在此输入您的代码
n, m, q = map(int, input().split())
INF = 10 ** 18
# dp[i][j]表示i到j的最短路
dp = [[INF] * (n + 1) for i in range(n + 1)] # 初始值设较大值
for i in range(1, n + 1):
  dp[i][i] = 0 # 自己到自己的距离为0
for _ in range(m):
  u, v, w = map(int, input().split())
  dp[u][v] = dp[v][u] = min(dp[u][v], w) # 双向边/无向边(可能有重边)

# Floyd算法模板
# dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j])
for k in range(1, n + 1):
  for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
      dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j])

for _ in range(q):
  u, v = map(int, input().split())
  if dp[u][v] == INF:
    print(-1)
  else:
    print(dp[u][v])

蓝桥8336

import os
import sys

# 请在此输入您的代码
"""
翻译题意：有n个城市，m条边就是有m条路径可以流通，每个城市有自己的商品产出，可以拿去别的地方销售，
需要求出最大利润，但是商品产量ai是不变的，生产成本pi也是不变的，只有售卖单价会随着商品运输到其他
城市会改变，以及带来的运输费用（这里的运输费用有一个路径的问题，需要用最短路算出来最少支付。
"""

n, m = map(int, input().split())
# g = s - p - f(路径费用)
INF = 10 ** 17
a, p, s = [0] * (n + 1), [0] * (n + 1), [0] * (n + 1) # 商品的产量， 生产成本， 售卖单价
f = [[INF] * (n + 1) for i in range(n + 1)] # 记录最短路（也就是最短的运输费用）
g = [[0] * (n + 1) for i in range(n + 1)] # 记录利润
for i in range(1, n + 1):
  a[i], p[i], s[i] = map(int, input().split())
for _ in range(1, m + 1):
  u, v, w = map(int, input().split())
  f[u][v] = f[v][u] = min(f[u][v], w)
for i in range(1, n + 1):
  f[i][i] = 0

for k in range(1, n + 1):
  for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
      f[i][j] = min(f[i][k] + f[k][j], f[i][j])
# g[i][j]表示城市1的物品运输到城市j可得的利润=城市j的售价-城市i的成本-运输f[i][j]
for i in range(1, n + 1):
  for j in range(1, n + 1):
    g[i][j] = s[j] - p[i] - f[i][j]
ans = 0
for i in range(1, n + 1):
  # 遍历每个城市的商品
  now_ans = 0
  # 遍历移动到的城市（包括自己本身）
  for j in range(1, n + 1):
    now_ans = max(now_ans, a[i] * g[i][j])
  ans += now_ans # 记录每个城市的利润

print(ans)