目录
一、递归的定义
1、什么时候会用到递归的方法
1. 定义是递归的
2. 数据结构是递归的
3. 问题的解法是递归的
2、应用递归的原则
3、递归调用顺序问题
1. 首先递归的过程可以总结为以下几点：
2. 递归工作栈
二、 递归和非递归的转化
1. 单向递归可用迭代
举例：斐波拉契数列
2. 尾递归可用迭代
举例：欧几里德求最大公约数
3、借助栈实现非递归
1. 举例：二叉树的先序遍历
2. 举例：二叉树的中序遍历
一、递归的定义
- 在数学及程序设计方法学中为递归下的定义是这样的：若一个对象部分包含地包含它自己，或用它自己来定义它自己，则称这个对象是递归的；若一个过程直接或间接的调用自己，则称这个过程为递归的过程。
- 简而言之，递归方法就是直接或间接地调用其自身
1、什么时候会用到递归的方法
1. 定义是递归的
- 以数学上常用的阶乘函数为例，其定义和计算都是递归的
定义：
求解函数：
int faction(int n)
{
if (n == 1)
return 1;
else
n = faction(n - 1) * n;
return n;
}2. 数据结构是递归的
- 链表就是一种递归的数据结构，从概念上讲，单链表可以递归的定义为一个结点，当该结点的指针域为NULL的时候，就表明此链表是一个单链表，这个结点的指针域也可以指向另一个单链表，而这个单链表具有同样的结构
- 树也可以采用递归的方式来描述。首先一棵树要么是空，要么由若干非空子树组成（子树的数目可以为空），且这些子树的根都通过一条边连到根上。每个子树同样具有这样的结构，要么为空，要么由根和若干非空子树组成。
3. 问题的解法是递归的
2、应用递归的原则
- 首先是必须要有一些“基本条件”能够采用非递归的方式计算得到，这是使用递归方法的重要前提。基本条件的满足意味着采用递归处理后的子问题可以直接解决时，就停止分解，而这些可以直接求解的问题就叫做递归的“基本条件”。
- 为了使计算最终完结，任何递归调用都要朝着“基本条件”的方向进行。
- 例1：前面所举例的阶乘
if (n == 1)
return 1;这就是所谓的基本条件。
- 例2：二分查找（折半查找）
int BinSearch(int* data, int key,int low,int high)//折半查找
{
if (low > high)
return -1;
int mid = (low + high) / 2;
//二分查找递归的核心部分
if (key < data[mid])
return(data, key, low, mid - 1);//继续在data[low,mid-1]左区间查找
else if (key > data[mid])
return(data, key, mid + 1, high);//继续在data[mid+1,high]右区间查找
else
return mid;//查找成功
}- 其中：if(low>high)是基本条件之一，即在搜索范围内无法找到想要查找的值，表示搜索失败，递归过程也就结束了；此外，找到想要查找的值递归过程也会结束，也就是“return mid”，其对应的条件是“if(key==data[mid]”。
3、递归调用顺序问题
1. 首先递归的过程可以总结为以下几点：
- 递归过程在实现时，需要自己调用自己
- 层层向下递归，退出次序正好相反
- 主程序第一次递归调用自己为内部调用
- 它们返回调用它的过程的地址不同
2. 递归工作栈
- 在递归过程中，递归的执行需要一些薄记空间来记录跟踪前一个递归调用，特别对于那些有一长串递归调用的情况，在某种程度上较同等循环而言更加费时，因为薄记工作本身就要消耗一定时间。这个薄记空间就是递归工作栈。
- 同时，每一次递归调用时，需要为过程中使用的参数、局部变量等另外分配存储空间。
- 每层递归调用需分配函数递归时的活动记录 可以用如下图表示：
- 以下列代码为例：
#include<iostream>
using namespace std;
void Fuction1(int n)
{
if (n < 4)
{
printf("%d\n", n);
Fuction1(n + 1);
}
}
void Fuction2(int n)
{
if (n < 4)
{
Fuction2(n + 1);
printf("%d\n", n);
}
}
int main()
{
cout << "第一个函数：" << endl;
Fuction1(0);
cout << "第二个函数：" << endl;
Fuction2(0);
return 0;
}- Fuction1函数的执行过程
- Fuction2函数执行过程：
二、 递归和非递归的转化
1. 单向递归可用迭代
- 单向递归： 是指递归的过程总是朝着一个方向进行。斐波拉契数列的求解就是单向递归
-
举例：斐波拉契数列
- 递归求解斐波拉契数列：
int Fib(int n)
{
if (n < 2)
return n == 0 ? 0 : 1;
else if (n >= 2)
{
n = Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
return n;
}
}- 迭代求解斐波拉契数列：
int Fib(int n)
{
vector<int> v;
v.push_back(0);
v.push_back(1);
int i = 2;
for (i = 2; i <= n; i++)
{
int t = v[i - 1] + v[i - 2];
v.push_back(t);
}
return v[n];
}
2. 尾递归可用迭代
- 尾递归函数是以递归调用作为结尾的函数，它是单向递归的特例，它的递归调用语句只有一个，而且放在过程最后。当递归调用返回时，返回到上一层递归调用语句的下一语句的时候，而这个位置正好是程序的结尾。
- 尾递归示意图：
-
举例：欧几里德求最大公约数
- 是用较大的数除以较小的数，较小的除数和得出的余数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到出现能够整除的两个数。
- 递归求解最大公约数：
int gcd(int a, int b)
{
if (b == 0)
return a;
else
gcd(b, a % b);
}- 迭代求解最大公约数：
int gcd(int a, int b)
{
int tmp;//保存a%b
while (b!=0)
{
tmp = a % b;
a = b;
b = tmp;
}
return a;
}3、借助栈实现非递归
1. 举例：二叉树的先序遍历
- 递归先序遍历：
void PreOrder(BTree T)//先序遍历
{
if (T != NULL)
{
cout << T->data << " ";//访问根结点
PreOrder(T->lchild);//先序遍历左子树
PreOrder(T->rchild);//先序遍历右子树
}
}- 用栈先序遍历：
bool First(BTree T)
{
stack<BTNode*>s;
BTNode* p = T;
if (p != NULL )//二叉树不为空
{
s.push(p);
while (!s.empty())//栈不为空
{
p = s.top();
cout << s.top()->data << " ";//先访问栈顶元素
s.pop();//栈顶元素退栈
if (p->lchild != NULL)
s.push(p->rchild);//栈顶元素的右孩子结点进栈
if (p->rchild != NULL)
s.push(p->lchild);//栈顶元素的左孩子结点进栈
}
}
return true;
}2. 举例：二叉树的中序遍历
- 递归中序遍历：
void InOrder(BTree T)//中序遍历
{
if (T != NULL)
{
InOrder(T->lchild);
cout << T->data << " ";
InOrder(T->rchild);
}
}- 用栈中序遍历：
bool InOder(BTree T)
{
stack<BTNode*>s;
BTNode* p = T;
while (p != NULL || !s.empty())
{
while (p != NULL)//当前结点不为空
{
s.push(p);
p = p->lchild;
}
if (!s.empty())
{
cout << s.top()->data << " ";//访问栈顶元素
p = s.top()->rchild;//先将栈顶元素的右孩子存储起来
s.pop();//栈顶元素出栈
}
}
return true;
}
