1.树概念及结构

1.1树的概念

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点（如下图)
• 

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构  

1.2 树的相关概念 

1.3 树的表示

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）  

 2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合

从上图可以看出： 

2.2现实中的二叉树： 

2.3 特殊的二叉树：

2. 完全二叉树 ：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K

的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对

应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4 二叉树的性质 

2. 链式存储  

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
     struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
     struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
     struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
     BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。

现实中我们通常把堆 ( 一种二叉树 ) 使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统

虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2 堆的概念及结构  

 选择题

1. 下列关键字序列为堆的是：（）

A 100 , 60 , 70 , 50 , 32 , 65

B 60 , 70 , 65 , 50 , 32 , 100

C 65 , 100 , 70 , 32 , 50 , 60

D 70 , 65 , 100 , 32 , 50 , 60

E 32 , 50 , 100 , 70 , 65 , 60

F 50 , 100 , 70 , 65 , 60 , 32

2. 已知小根堆为 8 , 15 , 10 , 21 , 34 , 16 , 12 ，删除关键字 8 之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次 数是（）。

A 1

B 2

C 3

D 4

3. 一组记录排序码为 ( 5 11 7 2 3 17 ), 则利用堆排序方法建立的初始堆为

A ( 11 5 7 2 3 17 )

B ( 11 5 7 2 17 3 )

C ( 17 11 7 2 3 5 )

D ( 17 11 7 5 3 2 )

E ( 17 7 11 3 5 2 )

F ( 17 7 11 3 2 5 )

4. 最小堆 [ 0 , 3 , 2 , 5 , 7 , 4 , 6 , 8 ], 在删除堆顶元素 0 之后，其结果是（）

A [ 3 ， 2 ， 5 ， 7 ， 4 ， 6 ， 8 ]

B [ 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 4 ， 6 ， 8 ]

C [ 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8 ， 6 ]

D [ 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ]

1. A

2. C

3. C

4. C 

代码： 

void AdjustDown(HeapDatatype* arr, int size, int parent)//向下调整肯定是父亲找儿子
{
	int child = parent * 2 + 1;//通过父亲找到儿子下标的位置
	while (child < size)
	{
		if (child+1<size && arr[child + 1] <arr[child])//这里是小堆的例子，用的是假设法，找到最小的那个孩子
		{
			child++;
		}
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = child * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
	
}

3.2.2堆的创建

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

 3.2.3 建堆时间复杂度

3.2.4 堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

void AdjustUp(HeapDatatype* arr, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child>0)
	{
		if (arr[child] > arr[parent])
		{
			Swap(&arr[parent], &arr[child]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
		
	
	}
}

 3.2.5 堆的删除

void HPPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size>0);

	Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);//交换

	php->size--;//删除最后一个数据
	AdjustDown(php->arr, php->size, 0);//向下调整
}

 3.2.6 堆的代码实现

框架

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
 HPDataType* _a;
 int _size;
 int _capacity; 
}Heap;

// 堆的构建
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);

头文件

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
#include<string.h>
typedef int HeapDatatype;
struct Heap //堆的底层就是顺序表
{
	HeapDatatype* arr;
	int size;
	int capacity;
};
typedef struct Heap HP;

void HPInit(HP* php);
void HPInitArray(HP* php,HeapDatatype* arr, int size);
void HPDestroy(HP* php);
void HPPush(HP* php, HeapDatatype x);
HeapDatatype HPTop(HP* php);
void HPPop(HP* php);
bool HPEmpty(HP* php);
void AdjustUp(HeapDatatype* arr, int child);
void AdjustDown(HeapDatatype* arr, int size, int parent);
void Swap(HeapDatatype* x, HeapDatatype* y);
 

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"
void HPInit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->arr = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}
void HPInitArray(HP* php, HeapDatatype* arr, int size)
{
	assert(php);
	php->arr = (HeapDatatype*)malloc(sizeof(HeapDatatype) * size);
	if ( php->arr==NULL)
	{
		perror("malloc fail!");
		exit(1);
	}
	memcpy(php->arr, arr, sizeof(HeapDatatype) * size);
	php->capacity = php->size = size;
	//不好用的比较少
	//for (int i = 1; i < size; i++)
	//{
	//	AdjustUp(php->arr, i);
	//}


	//向下调整建堆
	for (int  i = (php->size-1-1)/2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(php->arr, php->size, i);
	}
}
void HPDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->arr);
	php->arr = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
	
	
}
void Swap(HeapDatatype* x, HeapDatatype* y)
{
	HeapDatatype temp;
	 temp= *x;
	 *x = *y;
	 *y = temp;
}
void AdjustUp(HeapDatatype* arr, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child>0)
	{
		if (arr[child] > arr[parent])
		{
			Swap(&arr[parent], &arr[child]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
		
	
	}
}
void HPPush(HP* php, HeapDatatype x)
{
	assert(php);
	size_t newcapacity;
	if (php->size == php->capacity)
	{
		if (php->capacity == 0)
		{
			newcapacity = 4;
		}
		else
		{
			newcapacity = php->capacity * 2;
		}
		HeapDatatype* temp = realloc(php->arr, sizeof(HeapDatatype) * newcapacity);
		if (temp == NULL)
		{
			perror("realloc fail!");
			exit(1);
		}
		php->arr = temp;
		php->capacity = newcapacity;

	}
	php->arr[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->arr, php->size-1);

}
HeapDatatype HPTop(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->arr[0];
}
void AdjustDown(HeapDatatype* arr, int size, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < size)
	{
		if (child+1<size && arr[child + 1] <arr[child])
		{
			child++;
		}
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = child * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
	
}

void HPPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size>0);

	Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);

	php->size--;
	AdjustDown(php->arr, php->size, 0);
}
bool HPEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

3.4 堆的应用  

3.4.1 堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序 

void HeapSort(int* a, int n)
{


	for (int i = (n-1-1)/2; i >=0; i--)//向下调整建堆
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}
	int end = n - 1;//最后一个数

	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]); //a[0]就是最小的，最小的放在最后
		AdjustDown(a, end, 0);
		end--;
	}
}

3.24.2 TOP-K问题

void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
 // 1. 建堆--用a中前k个元素建堆
 
 // 2. 将剩余n-k个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换
}
void TestTopk()
{
 int n = 10000;
 int* a = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
 srand(time(0));
 for (size_t i = 0; i < n; ++i)
 {
 a[i] = rand() % 1000000;
 }
 a[5] = 1000000 + 1;
 a[1231] = 1000000 + 2;
 a[531] = 1000000 + 3;
 a[5121] = 1000000 + 4;
 a[115] = 1000000 + 5;
 a[2335] = 1000000 + 6;
 a[9999] = 1000000 + 7;
 a[76] = 1000000 + 8;
 a[423] = 1000000 + 9;
 a[3144] = 1000000 + 10;
 PrintTopK(a, n, 10);
}

4.二叉树链式结构的实现

4.1 前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二 叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树

操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
 BTDataType _data;
 struct BinaryTreeNode* _left;
 struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;
BTNode* CreatBinaryTree()
{
 BTNode* node1 = BuyNode(1);
 BTNode* node2 = BuyNode(2);
 BTNode* node3 = BuyNode(3);
BTNode* node4 = BuyNode(4);
 BTNode* node5 = BuyNode(5);
 BTNode* node6 = BuyNode(6);
 
 node1->_left = node2;
 node1->_right = node4;
 node2->_left = node3;
 node4->_left = node5;
 node4->_right = node6;
 return node1;
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。

再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念， 二叉树是：

1. 空树

2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的 

4.2二叉树的遍历 

// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root);

void PreOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return ;
	}
	printf("%d ", root->val);
	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
}
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->val);
	InOrder(root->right);
}
void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%d ", root->val);
}

以这棵树为例 

 下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似

前序遍历递归图解：

4.2.2 层序遍历

4.3 节点个数以及高度等  

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);

int TreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	else
	{
		return TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right)+1;
	}

}

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	if (BinaryTreeLeafSize(root->left) == NULL && BinaryTreeLeafSize(root->right) == NULL)
	{
		return 1;	
	}

	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

int TreeLevel(BTNode* root, int k)
{
	assert(k > 0);
	
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	if (k == 1)
	{
		return 1;
	}

	return TreeLevel(root->left, k - 1) + TreeLevel(root->right, k - 1);

int TreeLevel(BTNode* root, int k)
{
	assert(k > 0);
	
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	if (k == 1)
	{
		return 1;
	}

	return TreeLevel(root->left, k - 1) + TreeLevel(root->right, k - 1);

4.4 二叉树基础oj练习

1. 单值二叉树。965. 单值二叉树 - 力扣（LeetCode）

2.检查两颗树是否相同。100. 相同的树 - 力扣（LeetCode）

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi);
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root);