「网络流 24 题」星际转移

$1\le n\le 13,1\le m\le 20,1\le k\le 50$

思路

我们用 $ship[i][j]$ 表示飞船 $i$ 在时刻 $T$ mod $r_i=j$ 时所处的太空站（$r_i$ 是其周期），这样子我们就可以快速得出某个时刻飞船在哪个位置

很明显，为了让全部人都到达月球，那么最终一定要跑到最大流，我们得确定最早在哪个时刻会跑到最大流。这时候我们就需要对每一个地点，建立其在每一个时间点的抽象点，用以表示转移

假设将答案上界设为 $T=1000$，那么地点 $i$ 在时刻 $t$ 的点编号为：$(i-1)\cdot T+j$，我们以 $getID(i,t)$ 表示地点 $i$ 在时刻 $t$ 的编号，那么我们对于每一个时刻，我们都要连边：$getID(i,t-1)\to getID(i,t)$，容量为 $\infty$，表示人一直呆在这个地点，等待飞船的到来

对于飞船 $i$ 在当前时刻 $t$ 的运输，连边：$getID(ship[i][tmod{r}_i],t)\to getID(ship[i][(t+1)mod{r}_i],t+1)$，容量为 $H_i$，表示这艘飞船最多搭乘的人数

最后建立超级源点 $S$ 和超级汇点 $T$，其内部均限制流量为 $k$，并且 $S$ 要对地球的每一个时刻都连边，月球的每一个时刻都要对 $T$ 连边

那么我们只需要枚举时刻 $t$，每次连接上一时刻到这一时刻的飞船运输方案，在之前的残余网络上跑最大流，将新的流量加上，如果当前总流量达到了 $k$，说明所有人都转移成功，就找到了最早的时刻 $t$。

#include<bits/stdc++.h>
#define fore(i,l,r)	for(int i=(int)(l);i<(int)(r);++i)
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'
#define ull unsigned long long
#define ALL(v) v.begin(), v.end()
#define Debug(x, ed) std::cerr << #x << " = " << x << ed;

const int INF=0x3f3f3f3f;
const long long INFLL=1e18;

typedef long long ll;

constexpr int inf = 1E9;

template<class T>
struct Dinic {
    struct _Edge {
        int to;
        T cap;
        _Edge(int to, T cap) : to(to), cap(cap) {}
    };
    
    int n; //点的数量，编号从 1 开始
    std::vector<_Edge> e; //链式前向星
    std::vector<std::vector<int>> g; //起到链式前向星nxt的作用
    std::vector<int> cur; //当前弧优化
    std::vector<int> h; //深度
    
    Dinic() {}
    Dinic(int n) {
        init(n);
    }
    
    void init(int n) {
        this->n = n;
        e.clear();
        g.assign(n + 1, {});
        cur.resize(n + 1);
        h.resize(n + 1);
    }
    
    bool bfs(int s, int t) { //构造分层图
        h.assign(n + 1, -1);
        std::queue<int> que;
        h[s] = 0;
        que.push(s);
        while (!que.empty()) {
            const int u = que.front();
            que.pop();
            for (int i : g[u]) {
                auto [v, c] = e[i];
                if (c > 0 && h[v] == -1) { //下一层有容量的邻居
                    h[v] = h[u] + 1;
                    if (v == t) {
                        return true;
                    }
                    que.push(v);
                }
            }
        }
        return false;
    }
    
    T dfs(int u, int t, T f) {
        if (u == t) {
            return f;
        }
        auto r = f;
        for (int &i = cur[u]; i < int(g[u].size()); ++i) {
            const int j = g[u][i];
            auto [v, c] = e[j];
            if (c > 0 && h[v] == h[u] + 1) {
                auto a = dfs(v, t, std::min(r, c));
                e[j].cap -= a;
                e[j ^ 1].cap += a;
                r -= a; //r是剩余可用流量
                if (r == 0) {
                    return f;  //如果r用完，说明f跑满了
                }
            }
        }
        return f - r; //否则f-r就是已用流量
    }
    void addEdge(int u, int v, T c) {
        g[u].push_back(e.size()); //记录在e中的下标
        e.emplace_back(v, c);
        g[v].push_back(e.size()); //反向边
        e.emplace_back(u, 0);
    }
    T flow(int s, int t) {
        T ans = 0;
        while (bfs(s, t)) {
            cur.assign(n + 1, 0); //当前弧初始化
            ans += dfs(s, t, std::numeric_limits<T>::max());
        }
        return ans;
    }
    
    std::vector<bool> minCut() { //最小割
        std::vector<bool> c(n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            c[i] = (h[i] != -1);
        }
        return c;
    }
    
    struct Edge {
        int from;
        int to;
        T cap;
        T flow;
    };
    std::vector<Edge> edges() {
        std::vector<Edge> a;
        for (int i = 0; i < e.size(); i += 2) {
            Edge x;
            x.from = e[i + 1].to;
            x.to = e[i].to;
            x.cap = e[i].cap + e[i + 1].cap;
            x.flow = e[i + 1].cap;
            a.push_back(x);
        }
        return a;
    }
};

const int N = 15;
const int T = 1002;

int ship[N][25];
int h[N];
int num[N];
int fa[N];

int find(int x){
    if(x == fa[x]) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);

    fore(i, 1, N) fa[i] = i;

    int n, m, k;
    std::cin >> n >> m >> k;    
    int tot = 0;
    
    fore(i, 0, m){
        std::cin >> h[i] >> num[i];
        fore(j, 0, num[i]){
            std::cin >> ship[i][j];
            if(ship[i][j] == 0) ship[i][j] = n + 1;
            if(ship[i][j] == -1) ship[i][j] = n + 2;
            if(j > 0 && find(ship[i][j - 1]) != find(ship[i][j]))
                fa[find(ship[i][j])] = find(ship[i][j - 1]);
        } 
    }

    if(find(n + 1) ^ find(n + 2)){
        std::cout << "0";
        return 0;
    }

    Dinic<int> dinic((n + 2) * T + 4);

    auto get_id = [&](int u, int time) -> int {
        return (u - 1) * T + time;
    };

    int S = (n + 2) * T + 3, E = S + 1;
    dinic.addEdge(S, S - 2, k);
    dinic.addEdge(E - 2, E, k);
    fore(t, 0, T){
        dinic.addEdge(S - 2, get_id(n + 1, t), k);
        dinic.addEdge(get_id(n + 2, t), E - 2, k);
        if(t > 0)   fore(i, 1, n + 3) dinic.addEdge(get_id(i, t - 1), get_id(i, t), k);
    }
    int flow = 0;

    fore(t, 1, T){
        fore(i, 0, m){
            if(num[i] == 1) continue;
            int u = ship[i][t % num[i]], v = ship[i][(t - 1 + num[i]) % num[i]];
            int now = get_id(u, t), lst = get_id(v, t - 1);
            dinic.addEdge(lst, now, h[i]);
        }

        flow += dinic.flow(S, E);
        if(flow >= k){
            std::cout << t;
            break;
        }
    }

    return 0;
}