目录
🌈前言🌈
📁 概念
📁 节点的定义
📁 插入
📁 旋转
1 . 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
📁 性能
📁 完整代码
📁 总结
🌈前言🌈
欢迎观看本期【C++杂货铺】，这期内容讲解AVL树，包括了什么是AVL树，如何实现AVL树，此外还会分析二叉搜索树的性能。
学习本期内容之前，需要你对什么是二叉搜索树有一定的了解，如果不会很了解，或忘记可以快速阅览下面这篇文章：
【C++杂货铺】二叉搜索树-CSDN博客
📁 概念
在二叉搜索树中，规定比节点小的值都放在节点的左边，比几点大的值都放在节点的右边，可以大大缩短查找的效率。
但是如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率底下。
因此俄罗斯的两位数学家在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新节点后，如果能保证每个节点的左右子树之差绝对值不超过1(需要对树中节点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一颗AVL树必须具有以下性质：
1. 它的左右子树都是AVL树.
2. 左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1( -1 / 0 / 1).
如果一颗二叉搜索树是高度平衡的，那么它就是AVL树。如果它有n个节点，其高度可以维持在O(log N) ，搜索时间复杂度O(log N)。
📁 节点的定义
template<class T>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode(const T& data)
: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
, _data(data), _bf(0)
{}
AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子
AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子
AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
T _data;
int _bf; // 该节点的平衡因子
};📁 插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。
那么 AVL树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子
bool Insert(const T& data)
{
// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否
破坏了AVL树的平衡性
/*
pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
成0，此时满足
AVL树的性质，插入成功
2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
新成正负1，此
时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
行旋转处理
*/
while (pParent)
{
// 更新双亲的平衡因子
if (pCur == pParent->_pLeft)
pParent->_bf--;
else
pParent->_bf++;
// 更新后检测双亲的平衡因子
if (0 == pParent->_bf)
{
break;
}
else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
{
pCur = pParent;
pParent = pCur->_pParent;
}
else
{
//根据不同情形，进行旋转
...
}
}
return true;
}
📁 旋转
1 . 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
Node* pparent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == pparent->_right)
{
pparent->_right = subL;
}
else
{
pparent->_left = subL;
}
subL->_parent = pparent;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* pparent = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == pparent->_right)
{
pparent->_right = subR;
}
else
{
pparent->_left = subR;
}
subR->_parent = pparent;
}
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if(bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
//右左单旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else if(bf == 0)
{
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
Node* _root = nullptr;
};AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
1. 验证其为二叉搜索树 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子) 节点的平衡因子是否计算正确
📁 性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这 样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2 N。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操 作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时， 有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数 据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
📁 完整代码
template<class T>
struct AVLTreeNode
{
typedef AVLTreeNode<T> Node;
AVLTreeNode(const T& val = T())
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _val(val)
, _bf(0)
{}
Node* _left;
Node* _right;
Node* _parent;
T _val;
//平衡因子
int _bf;
};
template<class T>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<T> Node;
public:
//插入
bool Insert(const T& val)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(val);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_val> val)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_val < val)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(val);
if (parent->_val < val)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
//调整平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_bf++;
}
else
{
parent->_bf--;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//ROTATE
//1. 右单旋
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
//2. 左单旋
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
//3. 左右单旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
//4. 右左单旋
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
//遍历
void Inorder()
{
_Inorder(_root);
}
//判断是否是平衡二叉树
bool IsBalance()
{
return _IsBalance(_root);
}
int Height()
{
return _Height(_root);
}
protected:
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
return max(_Height(root->_right), _Height(root->_left)) + 1;
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int leftsize = _Height(root->_left);
int rightsize = _Height(root->_right);
//检查右子树 - 左子树 < 2
if (abs(rightsize - leftsize) >= 2)
{
return false;
}
//检查平衡因子是否正确
if (rightsize - leftsize != root->_bf)
return false;
return _IsBalance(root->_right)
&& _IsBalance(root->_left);
}
void _Inorder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_Inorder(root->_left);
cout << root->_val << endl;
_Inorder(root->_right);
}
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* pparent = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == pparent->_right)
{
pparent->_right = subR;
}
else
{
pparent->_left = subR;
}
subR->_parent = pparent;
}
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}
//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
Node* pparent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == pparent->_right)
{
pparent->_right = subL;
}
else
{
pparent->_left = subL;
}
subL->_parent = pparent;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
//左右单旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if(bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
//右左单旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else if(bf == 0)
{
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
Node* _root = nullptr;
};📁 总结
以上就是本期【C++杂货铺】的主要内容了，主要验证了什么是AVL树，即一颗绝对平衡的二叉搜索树，通过平衡因子进行旋转平衡。展示了AVL树的模拟实现代码，深入理解了AVL树。
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