「网络流 24 题」最小路径覆盖

思路

具体可以看 这篇博客

对于有向无环图，我们只需要将假装将点裂成左点和右点（实际没有裂开），然后连边；
在上面跑二分图最大匹配后，剩下没有匹配的左点就是终点（因为它没有匹配，没有出边了），没有匹配的右点就是起点（因为没有点能够到达它）

那么最小路径覆盖数就是：$点数-最大匹配数$

对于输出路径划分方案，我们可以利用 $match$ 数组，因为 $u=match[v]$ 记录的就是 $u\to v$ 这条边，并且是最小路径覆盖，那么 $v$ 的唯一入度就是 $u$，所以我们可以线性处理

最终从每条路径的起点搜索输出即可

时间复杂度：$O(nm)$

// Problem: #6002. 「网络流 24 题」最小路径覆盖
// Contest: LibreOJ
// URL: https://loj.ac/p/6002
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include<bits/stdc++.h>
#define fore(i,l,r)	for(int i=(int)(l);i<(int)(r);++i)
#define fi first
#define se second
#define endl '\n' 
#define ull unsigned long long

const int INF=0x3f3f3f3f;
const long long INFLL=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

typedef long long ll;

const int N = 250;

std::vector<int> match; //match[i]表示每个右点i当前匹配的左点
std::vector<bool> used; //当前轮 右点 i 是否被预定
std::vector<int> g[N];

bool dfs(int l){ //为当前左点 l 寻找匹配
    for(auto r : g[l])
        if(!used[r]){ //如果当前轮右点r还没有被预订
            used[r] = true; //预定
            if(!match[r] || dfs(match[r])){
                match[r] = l;
                return true;
//（1）如果右点 r 还没有配对
//（2）右点 r 已经配对，尝试更换其原配左点
            }
        }
    return false;
}

int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);
    int n, m;
    std::cin >> n >> m;
    match.assign(n + 1, 0);
    while(m--){
    	int u, v;
    	std::cin >> u >> v;
    	g[u].push_back(v);
    }
    
    std::vector<int> nxt(n + 1, 0);
    
    int cnt = 0;
    fore(i, 1, n + 1){
    	used.assign(n + 1, false);
    	cnt += dfs(i);
    }
    
    std::vector<bool> head(n + 1, true); //是否为起点
    fore(v, 1, n + 1){
    	int u = match[v];
    	if(!u)	continue;
    	nxt[u] = v;
    	head[v] = false;
    }
    
    fore(i, 1, n + 1){
    	if(!head[i])	continue;
    	int u = i; //从起点开始搜，路径唯一
    	while(nxt[u]){
    		std::cout << u << ' ';
    		u = nxt[u];
    	}
    	std::cout << u << endl;
    }
    
    std::cout << n - cnt; //最小路径覆盖数量
    
	return 0; 
}