溪云初起日沉阁
山雨欲来风满楼
契子✨
我们知道数据类型皆有范围，一旦超出了这个范围就会造成溢出问题
今天说说我们常见的数据类型范围：
我们平时写代码也会遇到数据类型范围溢出问题：
比如 ~ 我们之前写的学生管理系统在用 int类型 填写学生学号时，我们发现了数据溢出
那么我们是怎么解决的呢？我们采用了 char* 类型 （数组）在我们 C++ 中也就是 string 类型
也就是我们可以用字符串类型存储较大的数（会溢出的数据）
而字符串的数学运算也被称为大数运算
废话不多说，铁铁们请看题：
字符串相加
题目链接：字符串相加
给定两个字符串形式的非负整数
num1和num2，计算它们的和并同样以字符串形式返回。你不能使用任何內建的用于处理大整数的库（比如
BigInteger）， 也不能直接将输入的字符串转换为整数形式。示例 1：
输入：num1 = "11", num2 = "123" 输出："134"示例 2：
输入：num1 = "456", num2 = "77" 输出："533"示例 3：
输入：num1 = "0", num2 = "0" 输出："0"提示：
1 <= num1.length, num2.length <= 104num1和num2都只包含数字0-9num1和num2都不包含任何前导零
题目分析：
我们只需要对两个大整数模拟「竖式加法」的过程：
竖式加法就是我们平常学习生活中常用的对两个整数相加的方法，回想一下我们在纸上对两个整数相加的操作，是不是如下图将相同数位对齐，从低到高逐位相加，如果当前位和超过 10，则向高位进一位？我们只需按照这个思路来解决问题即可。
算法思想：
现在我们要考虑是从前往后加，还是从后往前加呢？如果是从前往后加则需要补 0 对齐，我们这里选择从后往前加。先定义两个指针 left、right 指向两个字符串 s1、s2 的末尾，再取出对应位置字符串的字符转化成 int整型 进行操作。最后将结果在转化为字符型并插入到字符串中。
注意：这里需要考虑进位问题，我们可以采用一个 next 变量来进行进位维护
如果 s1[left]+s2[right] >= 10，这个时候就需要进位了，简单暴力一点：
next = (s1[left]+s2[right])/10; (s1[left]+s2[right]) %= 10;对于我们的上一位数，我们选择直接加上 next 即可
代码测试：
class Solution
{
public:
string addStrings(string num1, string num2)
{
int end1 = num1.size()-1;
int end2 = num2.size()-1;
string str;
int next = 0;
while(end1>=0 || end2>=0) //最长的字符串遍历完就结束
{
//转化成 int 类型进行数学运算，如果前面没有数据就自动补 0
int x1 = end1>=0 ? num1[end1--] - '0':0;
int x2 = end2>=0 ? num2[end2--] - '0':0;
int x = x1+x2+next;
//判断进位
next = x/10;
x %= 10;
//转化成字符在进行头插
str.insert(str.begin(),'0'+x);
}
if(next == 1)
str.insert(str.begin(),'1');
return str;
}
};
注意：
if(next == 1) str.insert(str.begin(),'1');我们来看这个代码，为什么要加上这一行代码呢？
如果 x1 = 1，x2 = 9 那么只有 '0' 被插入字符串，因为最长字符串的长度为 1 只能进行一次循环，当退出循环时还没来的及进位就结束了！！！
时间复杂度分析：
设两字符串中最长的长度为 n，那么时间复杂度为 O(n^2)
因为一次遍历 + 头插，为了让时间效率更优一点，优化成 O(n)，我们可以改成尾插：
class Solution { public: string addStrings(string num1, string num2) { int end1 = num1.size()-1; int end2 = num2.size()-1; string str; int next = 0; while(end1>=0 || end2>=0) { int x1 = end1>=0 ? num1[end1--] - '0':0; int x2 = end2>=0 ? num2[end2--] - '0':0; int x = x1+x2+next; next = x/10; x %= 10; str.push_back('0'+x); } if(next == 1) str.push_back('1'); reverse(str.begin(), str.end()); return str; } };
字符串相乘
题目链接：字符串相乘
给定两个以字符串形式表示的非负整数
num1和num2，返回num1和num2的乘积，它们的乘积也表示为字符串形式。注意：不能使用任何内置的 BigInteger 库或直接将输入转换为整数。
示例 1:
输入: num1 = "2", num2 = "3" 输出: "6"示例 2:
输入: num1 = "123", num2 = "456" 输出: "56088"提示：
1 <= num1.length, num2.length <= 200num1和num2只能由数字组成。num1和num2都不包含任何前导零，除了数字0本身。
题目分析：
<1>首先可以做一个小小的优化：先判断两个字符串是否含有 "0" ，如果有直接返回 "0" 即可
<2>如果两个字符串都不是 "0" ，则可以通过模拟「竖式乘法」的方法计算乘积。从右往左遍历乘数，将乘数的每一位与被乘数相乘得到对应的结果，再将每次得到的结果累加
<3>假设 num1 和 num2 的长度分别为 n 和 m，则它们的乘积的长度最多为 n + m
我们可以申请一个长度为 m + n 的数组，用于存储乘积的每一位
从低位到高位，依次计算乘积的每一位，最后将数组转换为字符串即可
注意：判断最高位是否为 0，如果是，则去掉
代码展示：
class Solution
{
public:
string multiply(string num1, string num2)
{
if(num1 == "0"||num2 == "0")
return "0";
int n = num1.size(),m = num2.size();
vector<int> arr(n+m);
for(int i = n-1;i>=0;i--)
{
for(int j = m-1;j>=0;j--)
{
int a = num1[i] - '0';
int b = num2[j] - '0';
arr[i+j+1] += a*b;
}
}
for(int i = arr.size()-1;i>0;i--)
{
arr[i-1] += arr[i]/10;
arr[i] %= 10;
}
int i = 0;
while(arr[i] == 0)
{
i++;
}
string str;
for(i;i<arr.size();i++)
{
str += '0'+arr[i];
}
return str;
}
};
注意：
arr[i+j+1] += a*b;因为 i = n-1 和 j = m-1 即 i+j = n+m-2，所以现在的右边界为 n+m-1，左边界为 0，所以长度是 n+m ，没有越界
注意：
int i = 0; while(arr[i] == 0) { i++; }判断最高位是否为 0，如果是，则去掉
有些时候的 num1 和 num2 并没有到达 m+n 的长度，但是前位就会自动补 "0"，所以要判断
时间复杂度分析：
假设 n 是 num1 的长度，m 是 num2 的长度，时间复杂度为 O(m×n) -- 两层 for 循环
