自动驾驶融合定位系列教程五：惯性导航误差分析
一、概述
在定位领域的几乎所有多传感器融合系统中，都有IMU存在，而且，IMU是定位系统的主线与核心（对此可能很多人并不同意，但是我仍然坚定地坚持这一观点）。
对于IMU参与的融合系统（无论是基于滤波还是基于优化），它的误差分析就既是核心内容，也是基础内容，是必须要掌握的。如果要简单解释，所谓融合，就是根据观测误差去反推状态误差，而误差分析就是给出观测误差与状态误差之间的关系，让这个“反推”不再是文字，而具有数学表达，从而可以进行算法实现。
具体来讲，在IMU融合系统中，这里的观测误差就对应位置误差、速度误差、姿态误差，状态误差指的就是位置误差、速度误差、姿态误差、陀螺仪的bias、加速度计的bias等。观测和状态中有重复的量这很正常，说明“有些状态可以被直接观测到”。而根据观测误差去反推状态误差，指的就是，如果告诉你它们之间的关系（比如已知陀螺仪的bias和姿态误差之间的关系），那么就可以根据该关系去反推出那些不能被直接观测到的量（比如已知姿态误差去反推陀螺仪bias）。
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二、误差方程推导思路
误差方程的推导公式还是挺多的，所以，按照本系列文章的风格，会先介绍推导的思路，把公式推导放在思路的框架下理解，以避免陷入混乱状态。
既然误差分析是对观测误差和状态误差关系的推导，那么我们不妨就从一个简单的例子，来把这个推导思路解释清楚。假设z是观测，x和y都是状态，并且有
𝑧˙=𝑥+𝑦
误差分析指的就是，由上面的方程，推导出 𝛿𝑧 与 𝛿𝑥 、 𝛿𝑦 之间的关系。我们按照固定的套路，把推导步骤给固化下来，这样，我们在后面推导位置、速度、姿态的误差方程的时候就直接往上套就行了。整个过程可以分为以下几步：
1）写出不考虑误差时的微分方程
𝑧˙=𝑥+𝑦
2）写出考虑误差时的微分方程
3）写出真实值与理想值之间的关系
4）把3)中的关系，代入2)
5）把1)中的关系，代入4)
6）化简方程
经过这样 6 步，就很容易地达到了我们的目的。不过对于这个方程来讲，有点过于简单了，因为不写出这 6 个步骤，可能也能直接看出答案，但这只是以此为例，把步骤梳理清楚，等真正推导IMU的误差方程的时候，不能直接看得出结果，这些就用得上了。
三、IMU 误差方程推导
1.姿态误差方程
我们以四元数的表达方式为例，进行介绍。同样按照刚才的 6 个步骤往里面套。
根据上一篇文章所讲，四元数相乘可以转换成矩阵与向量相乘
令
则
由于融合时，状态量中往往不是使用四元数，而是使用失准角，因此要把上式转成失准角的微分形式。
2.速度误差方程
3.位置误差方程推导
位置误差方程推导完毕。
四、总结
可以看出，掌握基本思路以后，推导是不太费脑子的，就是有点费纸。这里啰哩啰嗦把这些东西讲完，后面的章节就直接使用这里的结论了。
