模拟集成电路(2)----MOSFET大小信号分析，二级效应

MOS的结构及符号

以NMOS为例

其中，B为body，代表衬底。$V_B$代表衬底电压

关于源极和漏极，一般认为电压高的一端为漏极。

MOS管的典型应用

• 开关

• 压控电流源（饱和区）

大信号特性

Turn-on process for an NMOS

假设对栅极施加电压，当这个电压大于一个值$(V_{TH})$时,如MOS管导通，称这个值为阈值电压。阈值电压的定义如下：
$$V_{\mathrm{TH}}={\Phi }_{\mathrm{MS}}+2{\Phi }_{\mathrm{F}}+\frac{Q_{\mathrm{dep}}}{C_{\mathrm{ox}}}$$

耗尽区

由于NMOS衬底为P型掺杂，故有大量空穴在电荷周围，当对栅极施加电压不断增加时$(限制在V_{GS}<V_{TH})$，此时有p衬底中的空穴被赶离栅极，形成了一个耗尽层，但由于没有载流子无电流产生，此时MOS还没有导通。

反形层形成

当$(V_{GS}=V_{TH})$此时有栅极中空穴浓度等于电子浓度，没有载流子无电流产生。

当$(V_{GS}>V_{TH})$此时有栅极中空穴浓度小于电子浓度，电子到达漏端，形成了载流子的通道（反型成）。若此时S端和D端有压差即可产生电流。

 

I-V特性推导

当反型层形成时，产生的均匀的沟道电荷密度如下：
$$Q_{\mathrm{d}}=W{C}_{\mathrm{ox}}(V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}})$$

三极管区$(V_{DS}\le V_{GS}-V_{TH})$

由于D端和S端有压差，所以事实上载流子在栅极的分布并不是均匀的，此时我们看作线性分布，加入了$V(x)$电压和距离为线性分布,$V(x)=V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}}$。

此时电流大小与载流子迁移率$\mu$和电场大小$E$有关（决定了载流子移动速度）
$$\begin{gathered} I_{\mathrm{D}}=Q_d\cdot v=-W{C}_{\mathrm{ox}}[V_{\mathrm{GS}}-V(x)-V_{\mathrm{TH}}]v \\ v=\mu E \end{gathered}$$
有$V(0)=0\text{ 和 }V(L)=V_{\mathrm{DS}}$，可得：
$${\int }_{x=0}^L{I}_{\mathrm{D}}\mathrm{d}x={\int }_{V=0}^{V_{\mathrm{DS}}}W{C}_{\mathrm{ox}}{\mu }_{\mathrm{n}}[V_{\mathrm{GS}}-V(x)-V_{\mathrm{TH}}]\mathrm{d}V$$
化简得：(重要公式)
$$I_{\mathrm{D}}={\mu }_{\mathrm{n}}{C}_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}[(V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}})V_{\mathrm{DS}}-\frac{1}{2}{V}_{\mathrm{DS}}^2]$$
可以看作为$V_{DS}$关于$V_D$的一个二次函数，其中顶点（最大值为$V_{DS}=V_{GS}-V_{TH}$）

若有$V_{\mathrm{DS}}\ll 2\left(V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}}\right)$，可以将这个区域的$V_{DS}$-$V_D$关系看作是线性的，此区域我们称作深三极管区：
$$I_{\mathrm{D}}\approx {\mu }_{\mathrm{n}}{C}_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}(V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}})V_{\mathrm{DS}}$$

此时可以把MOS管看作为一个可控线性电阻。
$$R_{\mathrm{on}}=\frac{1}{{\mu }_{\mathrm{n}}{C}_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}(V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}})}$$

 

饱和区$(V_{DS}>V_{GS}-V_{TH})$

即使此时已经形成了反型层，但由于栅极电压分布并不均匀，在栅极的特定位置会出现$V(x)=V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}}$，形成耗尽区，耗尽区与饱和区相接的点我们称之为夹断点，但是由于电场的存在仍然会产生电流，
$$I_{\mathrm{D}}=\frac{1}{2}{\mu }_{\mathrm{n}}{C}_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L^{\prime }}(V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}}{)}^2$$

对于长沟道的MOS管，我们通常忽略L的变化
$$I_{\mathrm{D}}=\frac{1}{2}{\mu }_{\mathrm{n}}{C}_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}(V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}}{)}^2$$
此时我们可以把MOS管看作为一个压控电流源

小信号模型

MOS管的小信号模型：

$$V_{in}=V_B+{\nu }_{in}=V_B+{\nu }_a\sin (\omega t)$$

$$\begin{array}{rl}& V_{in}=V_B+{\nu }_{in}=V_B+{\nu }_a\sin (\omega t)\\ & I_d=\frac{{\mu }_n{C}_{ox}}{2}\frac{W}{L}(V_{in}-V_{TH}{)}^2=\frac{{\mu }_n{C}_{ox}}{2}\frac{W}{L}[(V_B-V_{TH})+{\nu }_a\sin (\omega t){]}^2\\ & =I_D+[{\mu }_n{C}_{ox}\frac{W}{L}(V_B-V_{TH})]\cdot {\nu }_o\sin (\omega t)+\boxed{\frac{{\mu }_n{C}_{ox}}{2}\frac{W}{L}\cdot [{\nu }_a\sin (\omega t){]}^2}\end{array}$$

框住的一部分为非线性，如果施加的$V_a$很小的话，我们小信号模型即为抛开这部分非线性的部分后进行分析。
$$\begin{array}{rl}{I}_d=I_D+i_d& V_{out}=V_{DD}-I_d{R}_D=(V_{DD}-I_D{R}_D)-\boxed{i_d{R}_D}\\ & =V_{OUT}+\boxed{v_{out}}\end{array}$$

$${\nu }_{out}=-i_d{R}_D=-\boxed{{\mu }_n{C}_{ox}\frac{W}{L}(V_{{}_B}-V_{{}_{TH}})\cdot R_{{}_D}}\cdot v_{{}_a}\sin (\omega t)$$

$${\nu }_{in}\underset{\text{Convert to current}}{\overset{g_m}{\to }}{i}_d\underset{\text{Back to voltage}}{\overset{R_D}{\to }}{\nu }_{out=}-g_m{\nu }_{in}{R}_D$$
全部用小写：只考虑了微小变化，所以有跨导的话就可以拿来就用。

MOSFET的跨导

由于MOSFET工作在饱和区时，其电流受栅源过驱动电压控制，跨导即表示电压转换电流的能力。
$$\begin{array}{rl}{g}_{\mathrm{m}}& ={\frac{\partial I_{\mathrm{D}}}{\partial V_{\mathrm{GS}}}|}_{V_{\mathrm{DS}},\mathrm{const}}\\ & ={\mu }_{\mathrm{n}}{C}_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}(V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}})\end{array}$$

$$\begin{array}{c}{g}_m=\sqrt{2{\mu }_{\mathrm{n}}{C}_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}{I}_{\mathrm{D}}}\\ =\frac{2I_{\mathrm{D}}}{V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}}}\end{array}$$

例如：

$$\begin{array}{rl}{g}_m& =\frac{\partial }{\partial V_{\mathrm{GS}}}\left\{\frac{1}{2}{\mu }_{\mathrm{n}}{C}_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}[2(V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}})V_{\mathrm{DS}}-V_{\mathrm{DS}}^2]\right\}\\ & ={\mu }_{\mathrm{n}}{C}_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}{V}_{\mathrm{DS}}\end{array}$$
如果器件进入三极管区，跨导将下降。因此，放大应用时，我们通常使MOSFET工作于饱和区。

小信号模型的物理意义

实际上就是一个泰勒展开的过程，到一个偏执点，给出电压电流关系，把高阶部分去掉只留下线性部分。

把不理想的东西去掉，将非线性线性化。

二阶效应

体效应（$V_B\ne V_S$）

随着$V_B<0$耗尽层变得更宽了,由此$V_{TH}$也提高了。

若$V_B=0,V_S>0$也是同样的效果，仍会出现体效应。

如上图有：
$$V_{out}=V_{in}-V_{GS}$$

$$\begin{array}{c}{V}_{GS}=\sqrt{\frac{2I_D}{{\mu }_{\mathrm{n}}{C}_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}}}+V_{TH}\end{array}$$

如果不考虑体效应就是图b，$V_{TH}$没有变化，即为$V_{GS}$没有改变。

如果不考虑体效应就是图c，$V_{TH}$变化，$V_{GS}$改变。

体效应对小信号模型的影响

有体跨导和栅跨导$g_{mb}$。
$$\begin{array}{rl}{g}_{mb}& =\frac{\partial I_{\mathrm{D}}}{\partial V_{\mathrm{BS}}}\\ & ={\mu }_{\mathrm{n}}{C}_{\mathrm{ox}}\frac{\dot{W}}{L}(V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}})(-\frac{\partial V_{\mathrm{TH}}}{\partial V_{\mathrm{BS}}})\end{array}$$
又有：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial V_{\mathrm{TH}}}{\partial V_{\mathrm{BS}}}& =-\frac{\partial V_{\mathrm{TH}}}{\partial V_{\mathrm{SB}}}\\ & =-\frac{\gamma }{2}(2{\Phi }_F+V_{\mathrm{SB}}{)}^{-\frac{1}{2}}\end{array}$$
可得重要公式：
$$\begin{array}{rl}{g}_{\mathrm{mb}}& =g_{\mathrm{m}}\frac{\gamma }{2\sqrt{2{\Phi }_{\mathrm{F}}+V_{\mathrm{SB}}}}\\ & =\eta g_{\mathrm{m}}\end{array}$$
看是通过体效应还是栅效应来控制电流。其影响因素并不一样。

沟道长度调制效应

理想电流源的条件：NMOS工作在饱和区，且沟道长度足够长。

假设沟道长度不够长，$L^{\prime }$为夹断产生的耗尽区长度：
$$L^{\prime }=L-\Delta L$$
如果x足够小有$\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1+x}$
$$\frac{1}{L^{\prime }}=\frac{1}{L-\Delta L}=\frac{1}{L}\frac{1}{(1-\Delta L/L)}\approx \frac{1}{L}(1+\frac{\Delta L}{L})$$

$$assume\Delta L/L=\lambda V_{DS},1/L^{\prime }=\frac{1}{L}(1+\lambda V_{DS})$$

$\lambda$是沟道长度调制系数:

$$\lambda =\frac{1}{L}(\frac{\Delta L}{V_{DS}})\propto \frac{1}{L}$$

$$\begin{array}{c}\frac{V_A+V_{DS1}}{V_{DS2}-V_{DS1}}=\frac{I_{D1}}{I_{D2}-I_{D1}}\\ \lambda =\frac{1}{V_A}=\frac{I_{D2}-I_{D1}}{I_{D1}{V}_{DS2}-I_{D2}{V}_{DS1}}\end{array}$$

$$I_{\mathrm{D}}\approx \frac{1}{2}{\mu }_{\mathrm{n}}{C}_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}(V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}}{)}^2(1+\lambda V_{\mathrm{DS}})$$
其与L的长度和工艺有关。

对小信号模型电流的影响

$I_D$受$V_{DS}$的变化是非线性的.

$$I_D=\frac{{\mu }_n{C}_{OX}}{2}\frac{W}{L}(V_{GS}-V_{TH}{)}^2(1+\lambda V_{DS})$$
可以把其影响看作为一个电阻。

小信号模型的电阻

$$\begin{array}{rl}{r}_o& =\frac{\partial V_{\mathrm{DS}}}{\partial I_{\mathrm{D}}}\\ & =\frac{1}{\partial I_{\mathrm{D}}/\partial V_{\mathrm{DS}}}\\ & =\frac{1}{\frac{1}{2}{\mu }_{\mathrm{n}}{C}_{\mathrm{ox}}\frac{W}{L}(V_{\mathrm{GS}}-V_{\mathrm{TH}}{)}^2\lambda }\\ & \approx \frac{1+\lambda V_{\mathrm{DS}}}{\lambda I_{\mathrm{D}}}\\ & \approx \frac{1}{\lambda I_{\mathrm{D}}}\end{array}$$

漏电压如何受其他三端影响。

亚阀值效应

当$V_{GS}<V_{TH}$,其实此时电流并不为0.
$$I_{\mathrm{D}}=I_0\exp \frac{V_{\mathrm{GS}}}{\zeta V_T}$$

• 低功耗
• 噪声大
• 速度慢

 

MOS器件电容

一共有两种电容

• 介质电容

• 结电容（包含耗尽层）

通常我们只考虑$C_{GS}$和$C_{GD}$