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多项式求值问题引入
什么是霍尔法则
多项式求值问题引入
题目链接:多项式求值
对于多项式求值问题,例如多项式:
常规的计算方法是每一项单独计算,即先计算,再接着计算,以此类推,最后求和即可,实现代码如下:
//其中n是多项式的阶数,a[]中存储系数,x是给定值。函数返回多项式f(x)的值
double f(int n, double a[], double x)
{
double ans = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++)
{
ans += pow(x, i) * a[i];
}
return ans;
}
但是,上面的代码存在一些问题;
- 性能可能较低,特别是在
n
较大时,因为pow(x, i)
函数通常实现较为复杂,计算代价较高 - 对于浮点运算,多次调用
pow
可能会引入数值稳定性问题
如果不是调用pow(x, i)
函数计算,则还需要一层循环来单独计算的值,算法的时间复杂度为O()
//其中n是多项式的阶数,a[]中存储系数,x是给定值。函数返回多项式f(x)的值
double f( int n, double a[], double x ) {
double ans = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) {
double temp = 1.0;
for (int j = 0; j < i; j++) {
temp *= x;
}
ans += a[i] * temp;
}
return ans;
}
所以为了减少多次的计算并且提高计算的准确性,可以考虑使用霍尔法则进行计算。
什么是霍尔法则
对于多项式的一般式来说:
可以简化为下面的等式:
上面的等式即为霍尔法则
证明如下:
使用霍纳法则可以将上面的多项式转化成下面的形式:
所以,使用霍尔算法优化后的代码即为:
//其中n是多项式的阶数,a[]中存储系数,x是给定值。函数返回多项式f(x)的值
double f(int n, double a[], double x)
{
double ans = a[n];
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
{
ans = ans * x + a[i];
}
return ans;
}
此时上面的代码时间复杂度只与多项式的阶数有关,而因为多项式的阶数为N,此时算法的时间复杂度即为O(N)