向量链式法则

标量链式法则

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拓展到向量

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例题1

过程：

例题2

过程：

然后将分解的回代

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符号求导

数值求导

自动求导

自动求导计算一个函数在指定值上的导数

计算图

将代码分解为操作子
将计算表示成一个无环图

显示构造

隐式构造

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自动求导的两种模式

链式法则

正向累积（从x出发）

反向累积（反向传递–先计算最终的函数即y）

这里的反向先计算z的函数

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反向累积总结

构造计算图
前向：执行图，存储中间结果
反向：从相反方向执行图
去除不需要的枝

计算复杂度：O(n),n是操作子个数
通常正向和方向的代价类似
内存复杂度：O(n),因为需要存储正向的所有中间结果

正向累积：
它的内存复杂度是O(1),即不管多深我不需要存储它的结果，而反向累积则需要存储。

反向从根节点向下扫，可以保证每个节点只扫一次；
正向从叶节点向上扫，会导致上层节点可能需要被重复扫多次。

（正向中 子节点比父节点先计算，因此也无法像反向那样把本节点的计算结果传给每个子节点。）

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自动求导

假设我们对函数 y=2$x^T$x 求导

import torch
x = torch.arange(4.0)
print(x)

结果：

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计算y关于x的梯度，使用requires_grad(True)

import torch
x = torch.arange(4.0, requires_grad=True)
print(x.grad)

结果：

计算y

import torch
x = torch.arange(4.0, requires_grad=True)
y = 2 * torch.dot(x, x)
print(y)

结果：

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通过调用反向传播函数来自动计算y关于x每个分量的梯度

import torch
x = torch.arange(4.0, requires_grad=True)
print(x)
y = 2 * torch.dot(x, x)
y.backward() #求导
print(x.grad) #x.grad访问导数

结果：
y=2$x^2$然后使用求导函数backward（）实质是y导=4x（下面验证）。

import torch
x = torch.arange(4.0, requires_grad=True)
y = 2 * torch.dot(x, x)
y.backward() #求导
print(x.grad == 4*x)

结果：

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PyTorch会累积梯度，使用zero_()函数清除梯度

import torch
x = torch.arange(4.0, dtype=torch.float32, requires_grad=True)
y = 2 * torch.dot(x, x)
y.backward()
print(x.grad)

x.grad.zero_() #梯度清零
y = x.sum()
y.backward() #求导
print(x.grad)

因为求向量的sum（）所以梯度是全1
y是标量
y是对x的的求和：y=$x_1$+$x_2$+$x_3$+$x_4$。
对y进行x的偏导：dy/$d{x}_1$,dy/$d{x}_2$,dy/$d{x}_3$,dy/$d{x}_4$

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批量中每个样本单独计算的偏导数之和

import torch
x = torch.arange(4.0, dtype=torch.float32, requires_grad=True)
y = 2 * torch.dot(x, x)
y.backward()
print(x.grad)

x.grad.zero_() #梯度清零，如果不清零执行y=x*x然后对y求和再求导可以通过x.grad查看得[0.,1.,4.,*.]
y = x*x #x是向量，y即向量
print(y) #输出查看
y.sum().backward() #求导
print(x.grad)

梯度（求导）清零：必须先存在梯度，如果没有y.backward()则x.grad.zero_()会报错。
结果：

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将某些计算移动到记录的计算图之外

import torch
x = torch.arange(4.0, dtype=torch.float32, requires_grad=True)
y = 2 * torch.dot(x, x)
y.backward()
print(x.grad)

x.grad.zero_() #梯度清零，如果不清零执行y=x*x然后对y求和再求导可以通过x.grad查看得[0.,1.,4.,*.]
y = x * x #x是向量，y即向量
print(y) #输出查看
u = y.detach()#把y当作一个常数，而不是关于x的函数，把它做成u
z = u * x #相当于z=常数*x
z.sum().backward()
print(x.grad == u)

结果：这里的z就是为了后续求导检查是否与detach()后一致。

import torch
x = torch.arange(4.0, dtype=torch.float32, requires_grad=True)
y = 2 * torch.dot(x, x)
y.backward()
print(x.grad)

x.grad.zero_() #梯度清零，如果不清零执行y=x*x然后对y求和再求导可以通过x.grad查看得[0.,1.,4.,*.]
y = x * x #x是向量，y即向量
y.sum().backward()
print(x.grad == 2 * x)

结果：

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即使构建函数的计算图通过Python控制流仍可以计算变量的梯度

import torch


def f(a):
    b = a * 2
    while b.norm() < 1000:#norm()计算张量的范数, 计算了张量 b 的L2范数
        b = b * 2
    if b.sum(): #检查 b 所有元素的总和是否非零
        c = b #非0的时候的操作
    else:
        c = 100 * b
    return c


a = torch.randn(size=(), requires_grad=True)
d = f(a)
d.backward()
print(a.grad == d / a) #梯度验证

结果：

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问题

多个loss（损失函数）分别反向的时候是不是需要累积梯度？

是的

需要正向和反向都要算一遍吗？

是的

为什么Pytorch会默认累积梯度？

设计上的理念，通常一个大的批量无法一次计算出，所以分为多次，然后累加起来。

为什么获取.grad前需要backward？

不进行backward时不会计算梯度，因为计算梯度是一个很“贵”的事情