定义

其实跟树差不多，但是树强调的是节点（data），图则既强调节点又强调边。

分类

• 有向图（边有方向）
• 无向图（边没方向）

例如，在无向图里<j,i>和<i,j>是同一条边。在有向图里<j,i>代表从节点j指向节点i的一条边，显然<j,i>和<i,j>就不是同一条边了。

术语

度

一个顶点所关联的边的数目。

有向图另外区分入度和出度。

• 入度：以该顶点为终点的边的数目
• 出度：以该顶点为起点的边的数目
• 度：出度和入度之和

图中所有顶点度数之和等于边数的二倍。

完全图

图中每个顶点都有与其他所有顶点的连线，这意味着有向图每两个节点之间是有两条线，来回各一条。

k阶完全图有k*(k-1)/2条边

路径

路径就是顶点序列（由于一对顶点可以表示一条边，那么该序列相邻两个顶点就是一条边，整个序列就是多个边首尾相接），该序列含有的边的数目就是路径长度。

若一条路径上除了开始点和结束点可以相同（注意，是可以，但未必一定得相同）外，其余顶点均不相同，则称此路径为简单路径。

连通

在无向图G中若两个顶点之间有路径则称这两个顶点是连通的。

若无向图G中任意两个顶点都是连通的则称图G为连通图。

这里有点绕，其实就是说一个点不管经过多少路径能走到另一个点，就说这俩是连通的。

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连通子图：

连通分量：指无向图G中的极大连通子图。因此连通图的连通分量只有自身一个，而非连通图有多个。

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这里要对极大连通子图和极小连通子图饶舌一下:

• 极大连通子图就是连通分量。
• 极小连通子图是用最少的边实现所有的边连通。

上面说了两个顶点之间有路径则称这两个顶点是连通的，但是没说有多少路径（极大就是希望路径尽可能多）。对比看来，极大连通子图与极小连通子图相反，它要尽可能多地纳入原图的边，并且使这个图是连通的。

亦可以直接参考这篇文章讲的 图的连通

权和网

边带权的图叫做带权图，也叫做网（net）

生成树

最小生成树其实是最小权重生成树的简称

一个连通图的生成树是一个极小连通子图，其中含有图的全部顶点，和构成树的n-1条边。

强调连通图是因为要防止某些存在孤立无连接的顶点的特例

具体算法参见下方的基本运算

最小生成树和最短路的区别

最小生成树只是连通且保证边的权值之和最少，但是不保证任意两点之间是最短路径

最短路解决的问题是单源点的最短路径，它确保对于指定的点(源点)到任何其他点的距离最短。

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处理最小生成树一般提到两种算法(具体内容均见后文)：

• Prim
• Kruskal

两种方法结果是一样的，但是过程不太一样。

处理最短路问题一般提到两种算法(具体内容均见后文)：

• Dijkstra算法
• Floyd算法

其中Floyd算法可以处理权值为负的情况

Dijkstra不可处理权值为负的情况，原因看下文

Dijkstra最短路径算法的权值不能为负及其原因

存储方法

往前想一想，学数据结构之前那些栈和队列的实现，都是围绕数组和链表两种结构实现的，图这种数据结构也不例外。

使用数组实现的叫做邻接矩阵存储方法，而使用链表实现的则是邻接表存储方法。

稠密图用邻接矩阵存储

稀疏图用邻接表存储

原因：首先明确邻接表是链表，这意味着本身存储效率就有损耗。因为有一部分空间用于表示指针域，即维护各节点之间的关系。存储效率=有用数据占用空间/总占用空间，非零节点是有用的数据，邻接表只存储非零节点，稀疏图零节点多。稠密图类似，零节点少，采用邻接矩阵。

邻接矩阵存储方法

邻接表存储方法

基本运算

遍历

最小生成树的算法

kruskal

在原无向带权图中选择一些边构成新的图（显然也是树），选的原则是：

• 总选择权值最小的边加入作为结果的新图里
• 若选择的边与此前已选择的边会构成环则弃而选权值次小的

Prim

看这篇文章讲的Prim算法

最短路

Dijkstra与Floyd

说实话文字叙述确实抽象，我的建议是看视频，而我恰好看到了这个视频讲的挺好的：

看这个B站视频讲的

拓扑序列

性质/要求：对于对于有边或路径<i,j>则在拓扑序列中必有i在j前面

前提：图是有向图。只有有向无环图才有拓扑序，所以有向无环图又被称为拓扑图。有向有环图也可以输出拓扑序，只是输出的顶点序列是该图所有顶点的一部分。

在一个有向图中找一个拓扑序列的过程称为拓扑排序

拓扑排序的步骤是：

1. 从图中选一个没有前驱（入度为0）的顶点（如果有多个则任选1个）输出
2. 在图中去掉该顶点和它延伸出去的所有边
3. 然后重复上述步骤

（显然由上面的1可以知道）拓扑序列可能不唯一

这时候就不得不提AOV网(Activity on Vertex Network)与AOE网(Activity On Edge)

AOV与AOE

	AOV	AOE
边表示	先后顺序	事件
顶点表示	事件	状态
边是否有权	否	是

AOV网是没有权值的，只是表示了事情的优先顺序，比如说上图（忽略掉边权值）可以看出来，先完成$V_1$才可以进行$V_2$和$V_3$表示的内容

AOE网有权值，表示完成该边代表事件所对应的代价（如所需时间），那么比如说从$V_1$这个状态到$V_2$需要完成时间$a_1$，耗时3小时，这就是一种可能具有的含义。

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在AOE网中，状态$a_i$的解锁当且仅当其所有前驱节点解锁

比如说上图只有$V_2$和$V_3$都完成了才能进行$V_4$

看下方的时间轴图，不用多说，立马明白关键路径（第一行）的意义

关键路径可以有多条

例如上图a1+a4+a8+a11也是

关键路径求法

显然对于某个关键事件a有ve(a)=vl(a)

定义是这样的：

ve(v)是源点x到v所有路径的最大值，即

v l ( v ) = v e ( y ) − M A X { c ( p ) } vl(v)=ve(y)-MAX\{c(p)\} vl(v)=ve(y)−MAX{c(p)}

参考

李春葆《数据结构教程》
图的连通，连通图，连通分量，强连通分量
浅谈什么是图拓扑排序
7.1 图的定义与基本术语（这位仁兄的数据结构专栏看起来还可以啊）