这里写目录标题
- 1 理论
- 1.1 BFS框架
- 2 例题
- 2.1 二叉树的最小高度
- 2.2 打开转盘锁
- 2.3 滑动谜题
1 理论
BFS和DFS是两个遍历算法，其中DFS之前已经接触过，就是回溯，忘记的话请回顾回溯篇的例题（全排列，N皇后）
BFS 的核心思想应该不难理解的，就是把一些问题抽象成图，从一个点开始，向四周开始扩散。一般来说，我们写 BFS 算法都是用「队列」这种数据结构，每次将一个节点周围的所有节点加入队列。
BFS 相对 DFS 的最主要的区别是：BFS 找到的路径一定是最短的，但代价就是空间复杂度可能比 DFS 大很多，至于为什么，我们后面介绍了框架就很容易看出来了。
1.1 BFS框架
我们先举例一下 BFS 出现的常见场景好吧，问题的本质就是让你在一幅「图」中找到从起点 start 到终点 target 的最近距离，这个例子听起来很枯燥，但是 BFS 算法问题其实都是在干这个事儿。
// 计算从起点 start 到终点 target 的最近距离
int BFS(Node start, Node target) {
Queue<Node> q; // 核心数据结构
Set<Node> visited; // 避免走回头路
q.offer(start); // 将起点加入队列
visited.add(start);
while (q not empty) {
int sz = q.size();
/* 将当前队列中的所有节点向四周扩散 */
for (int i = 0; i < sz; i++) {
Node cur = q.poll();
/* 划重点：这里判断是否到达终点 */
if (cur is target)
return step;
/* 将 cur 的相邻节点加入队列 */
for (Node x : cur.adj()) {
if (x not in visited) {
q.offer(x);
visited.add(x);
}
}
}
}
// 如果走到这里，说明在图中没有找到目标节点
}
2 例题
2.1 二叉树的最小高度
给定一个二叉树，找出其最小深度。
最小深度是从根节点到最近叶子节点的最短路径上的节点数量。
说明：叶子节点是指没有子节点的节点。
示例1：
输入：root = [3,9,20,null,null,15,7]
输出：2
示例 2：
输入：root = [2,null,3,null,4,null,5,null,6]
输出：5
思路以及代码：
class Solution {
public int minDepth(TreeNode root) {
return bfs(root);
}
public int bfs(TreeNode root){
if(root == null){
return 0;
}
Queue<TreeNode> q = new LinkedList<>();
q.offer(root);
int depth = 1;
while(!q.isEmpty()){
int sz = q.size();
for(int i = 0;i<sz;i++){
TreeNode cur = q.poll();
if(cur.left == null && cur.right == null){
return depth;
}
if(cur.left != null){
q.offer(cur.left);
}
if(cur.right != null){
q.offer(cur.right);
}
}
depth++;
}
return depth;
}
}
这里注意这个 while 循环和 for 循环的配合，while 循环控制一层一层往下走，for 循环利用 sz 变量控制从左到右遍历每一层二叉树节点：
2.2 打开转盘锁
你有一个带有四个圆形拨轮的转盘锁。每个拨轮都有10个数字： ‘0’, ‘1’, ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’, ‘6’, ‘7’, ‘8’, ‘9’ 。每个拨轮可以自由旋转：例如把 ‘9’ 变为 ‘0’，‘0’ 变为 ‘9’ 。每次旋转都只能旋转一个拨轮的一位数字。
锁的初始数字为 ‘0000’ ，一个代表四个拨轮的数字的字符串。
列表 deadends 包含了一组死亡数字，一旦拨轮的数字和列表里的任何一个元素相同，这个锁将会被永久锁定，无法再被旋转。
字符串 target 代表可以解锁的数字，你需要给出解锁需要的最小旋转次数，如果无论如何不能解锁，返回 -1 。
示例 1:
输入：deadends = [“0201”,“0101”,“0102”,“1212”,“2002”], target = “0202”
输出：6
解释：
可能的移动序列为 “0000” -> “1000” -> “1100” -> “1200” -> “1201” -> “1202” -> “0202”。
注意 “0000” -> “0001” -> “0002” -> “0102” -> “0202” 这样的序列是不能解锁的，
因为当拨动到 “0102” 时这个锁就会被锁定。
示例 2:
输入: deadends = [“8888”], target = “0009”
输出：1
解释：把最后一位反向旋转一次即可 “0000” -> “0009”。
示例 3:
输入: deadends = [“8887”,“8889”,“8878”,“8898”,“8788”,“8988”,“7888”,“9888”], target = “8888”
输出：-1
解释：无法旋转到目标数字且不被锁定。
思路以及代码：
第一步，我们不管所有的限制条件，不管 deadends 和 target 的限制，就思考一个问题：如果让你设计一个算法，穷举所有可能的密码组合，你怎么做？
穷举呗，再简单一点，如果你只转一下锁，有几种可能？总共有 4 个位置，每个位置可以向上转，也可以向下转，也就是有 8 种可能对吧。
比如说从 “0000” 开始，转一次，可以穷举出 “1000”, “9000”, “0100”, “0900”… 共 8 种密码。然后，再以这 8 种密码作为基础，对每个密码再转一下，穷举出所有可能…
仔细想想，这就可以抽象成一幅图，每个节点有 8 个相邻的节点，又让你求最短距离，这不就是典型的 BFS 嘛，框架就可以派上用场了，先写出一个「简陋」的 BFS 框架代码再说别的：
//密码锁上拨一次
public String upone(String s,int i){
char[] ch = s.toCharArray();
if(ch[i] == '9'){
ch[i] = '0';
}else{
ch[i] += 1;
}
return new String(ch);
}
//密码锁向下转一下
public String downone(String s,int i){
char[] ch = s.toCharArray();
if(ch[i] == '0'){
ch[i] = '9';
}else{
ch[i] += 1;
}
return new String(ch);
}
public int bfs(String[] deadends, String target){
Queue<String> q = new LinkedList();
q.offer("0000");
while(!q.isEmpty()){
int sz = q.size();
for(int i = 0;i<sz;i++){
String cur = q.poll();
for(int j = 0;j<4;j++){
String up = upone(cur,j);
String down = downone(cur,j);
q.offer(up);
q.offer(down);
}
}
}
}
这段 BFS 代码已经能够穷举所有可能的密码组合了，但是显然不能完成题目，有如下问题需要解决:
1、会走回头路。比如说我们从 “0000” 拨到 “1000”，但是等从队列拿出 “1000” 时，还会拨出一个 “0000”，这样的话会产生死循环。
2、没有终止条件，按照题目要求，我们找到 target 就应该结束并返回拨动的次数。
3、没有对 deadends 的处理，按道理这些「死亡密码」是不能出现的，也就是说你遇到这些密码的时候需要跳过。
因此，我们根据上面三点去完善这个bfs代码：
class Solution {
public int openLock(String[] deadends, String target) {
return bfs(deadends,target);
}
//密码锁上拨一次
public String upone(String s,int i){
char[] ch = s.toCharArray();
if(ch[i] == '9'){
ch[i] = '0';
}else{
ch[i] += 1;
}
return new String(ch);
}
//密码锁向下转一下
public String downone(String s,int i){
char[] ch = s.toCharArray();
if(ch[i] == '0'){
ch[i] = '9';
}else{
ch[i] += 1;
}
return new String(ch);
}
public int bfs(String[] deadends, String target){
Set<String> deads = new HashSet();
for(String s:deadends){
deads.add(s);
}
Set<String> visited = new HashSet();
Queue<String> q = new LinkedList();
q.offer("0000");
visited.add("0000");
int step = 0;
while(!q.isEmpty()){
int sz = q.size();
for(int i = 0;i<sz;i++){
String cur = q.poll();
if(deads.contains(cur)){
continue;
}
if(cur.equals(target)){
return step;
}
for(int j = 0;j<4;j++){
String up = upone(cur,j);
String down = downone(cur,j);
if(!visited.contains(up)){
q.offer(up);
visited.add(up);
}
if(!visited.contains(down)){
q.offer(down);
visited.add(down);
}
}
}
step++;
}
return -1;
}
}
有一个比较小的优化：可以不需要 dead 这个哈希集合，可以直接将这些元素初始化到 visited 集合中，效果是一样的，可能更加优雅一些。
2.3 滑动谜题
在一个 2 x 3 的板上（board）有 5 块砖瓦，用数字 1~5 来表示, 以及一块空缺用 0 来表示。一次 移动 定义为选择 0 与一个相邻的数字（上下左右）进行交换.
最终当板 board 的结果是 [[1,2,3],[4,5,0]] 谜板被解开。
给出一个谜板的初始状态 board ，返回最少可以通过多少次移动解开谜板，如果不能解开谜板，则返回 -1 。
示例 1：
输入：board = [[1,2,3],[4,0,5]]
输出：1
解释：交换 0 和 5 ，1 步完成
示例 2:
输入：board = [[1,2,3],[5,4,0]]
输出：-1
解释：没有办法完成谜板
示例 3:
输入：board = [[4,1,2],[5,0,3]]
输出：5
解释：
最少完成谜板的最少移动次数是 5 ，
一种移动路径:
尚未移动: [[4,1,2],[5,0,3]]
移动 1 次: [[4,1,2],[0,5,3]]
移动 2 次: [[0,1,2],[4,5,3]]
移动 3 次: [[1,0,2],[4,5,3]]
移动 4 次: [[1,2,0],[4,5,3]]
移动 5 次: [[1,2,3],[4,5,0]]
思路以及代码：
对于这种计算最小步数的问题，我们就要敏感地想到 BFS 算法。
这个题目转化成 BFS 问题是有一些技巧的，我们面临如下问题：
1、一般的 BFS 算法，是从一个起点 start 开始，向终点 target 进行寻路，但是拼图问题不是在寻路，而是在不断交换数字，这应该怎么转化成 BFS 算法问题呢？
2、即便这个问题能够转化成 BFS 问题，如何处理起点 start 和终点 target？它们都是数组哎，把数组放进队列，套 BFS 框架，想想就比较麻烦且低效。
首先回答第一个问题，BFS 算法并不只是一个寻路算法，而是一种暴力搜索算法，只要涉及暴力穷举的问题，BFS 就可以用，而且可以最快地找到答案。
你想想计算机怎么解决问题的？哪有什么特殊技巧，本质上就是把所有可行解暴力穷举出来，然后从中找到一个最优解罢了。
明白了这个道理，我们的问题就转化成了：**如何穷举出 board 当前局面下可能衍生出的所有局面？**这就简单了，看数字 0 的位置呗，和上下左右的数字进行交换就行了：
这样其实就是一个 BFS 问题，每次先找到数字 0，然后和周围的数字进行交换，形成新的局面加入队列…… 当第一次到达 target 时，就得到了赢得游戏的最少步数。
对于第二个问题，我们这里的 board 仅仅是 2x3 的二维数组，所以可以压缩成一个一维字符串。其中比较有技巧性的点在于，二维数组有「上下左右」的概念，压缩成一维后，如何得到某一个索引上下左右的索引？
对于这道题，题目说输入的数组大小都是 2 x 3，所以我们可以直接手动写出来这个映射：
// neighbor 表示在一维字符串中，索引 i 在二维数组中的的相邻索引
int[][] neighbor = new int[][]{
{1, 3},
{0, 4, 2},
{1, 5},
{0, 4},
{3, 1, 5},
{4, 2}
};
观察上图就能发现，如果二维数组中的某个元素 e 在一维数组中的索引为 i，那么 e 的左右相邻元素在一维数组中的索引就是 i - 1 和 i + 1，而 e 的上下相邻元素在一维数组中的索引就是 i - n 和 i + n，其中 n 为二维数组的列数。
这样，对于 m x n 的二维数组，我们可以写一个函数来生成它的 neighbor 索引映射：
int[][] generateNeighborMapping(int m, int n) {
int[][] neighbor = new int[m * n][];
for (int i = 0; i < m * n; i++) {
List<Integer> neighbors = new ArrayList<>();
// 如果不是第一列，有左侧邻居
if (i % n != 0) neighbors.add(i - 1);
// 如果不是最后一列，有右侧邻居
if (i % n != n - 1) neighbors.add(i + 1);
// 如果不是第一行，有上方邻居
if (i - n >= 0) neighbors.add(i - n);
// 如果不是最后一行，有下方邻居
if (i + n < m * n) neighbors.add(i + n);
// Java 语言特性，将 List 类型转为 int[] 数组
neighbor[i] = neighbors.stream().mapToInt(Integer::intValue).toArray();
}
return neighbor;
}
至此，我们就把这个问题完全转化成标准的 BFS 问题了，借助前文 BFS 算法框架 的代码框架，直接就可以套出解法代码了
class Solution {
public int slidingPuzzle(int[][] board) {
int m = 2, n = 3;
StringBuilder sb = new StringBuilder();
String target = "123450";
// 将 2x3 的数组转化成字符串作为 BFS 的起点
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
sb.append(board[i][j]);
}
}
String start = sb.toString();
// 记录一维字符串的相邻索引
int[][] neighbor = new int[][]{/**<extend up -200><div class="img-content"><img src="/algo/images/sliding_puzzle/4.jpeg" class="myimage"/></div> */
{1, 3},
{0, 4, 2},
{1, 5},
{0, 4},
{3, 1, 5},
{4, 2}
};
/******* BFS 算法框架开始 *******/
Queue<String> q = new LinkedList<>();
HashSet<String> visited = new HashSet<>();
// 从起点开始 BFS 搜索
q.offer(start);
visited.add(start);
int step = 0;
while (!q.isEmpty()) {/**<extend up -200><div class="img-content"><img src="/algo/images/sliding_puzzle/3.jpeg" class="myimage"/></div> */
int sz = q.size();
for (int i = 0; i < sz; i++) {
String cur = q.poll();
// 判断是否达到目标局面
if (target.equals(cur)) {
return step;
}
// 找到数字 0 的索引
int idx = 0;
for (; cur.charAt(idx) != '0'; idx++) ;
// 将数字 0 和相邻的数字交换位置
for (int adj : neighbor[idx]) {
String new_board = swap(cur.toCharArray(), adj, idx);
// 防止走回头路
if (!visited.contains(new_board)) {
q.offer(new_board);
visited.add(new_board);
}
}
}
step++;
}
/******* BFS 算法框架结束 *******/
return -1;
}
private String swap(char[] chars, int i, int j) {
char temp = chars[i];
chars[i] = chars[j];
chars[j] = temp;
return new String(chars);
}
}
