相关分析方法

1.什么是相关分析方法

相关分析是数据分析中的一种统计方法，用于衡量两个或多个变量间的线性关系程度。可以帮助研究人员理解变量如何相互关联，以及它们之间的强度如何。

2.相关系数

相关性的核心是相关系数，它是一个介于-1和1之间的值，可以解释成以下几种方式：

相关系数为0表示没有线性关系。
相关系数大于0表示正相关，即一个变量增加时，另一个变量也倾向于增加。
相关系数小于0表示负相关，即一个变量增加时，另一个变量倾向于减少。

如果相关系数接近1或-1，表示一个强烈的线性关系。

3.常见的相关分析方法

常见的相关分析方法包括皮尔逊相关系数、斯皮尔曼等级相关和肯德尔等级相关。

3.1.皮尔逊相关系数

皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）也称作皮尔逊积差相关系数（Pearson product-moment correlation coefficient），是最常用的相关性度量方法之一，量化了两个连续变量之间的线性关系强度和方向。是最常用的相关系数，常用字母“r”表示。计算公式如下：

r=(Σ(Xi-X̄)(Yi-Ȳ))/(√Σ(Xi-X̄)²√Σ(Yi-Ȳ)²)

其中Xi和Yi是数据点，X̄和Ȳ是变量X和Y的均值。

这个公式可以解释为，两个变量的协方差除以两个变量的标准差的乘积。皮尔逊相关系数是描述线性关系的强度和方向的量度，但它不描述变量之间的非线性关系，也不意味着变量之间存在因果关系。

3.2.斯皮尔曼等级相关

斯皮尔曼等级相关（Spearman's rank correlation）也被称为斯皮尔曼相关系数或斯皮尔曼的ρ（rho），是一种非参数统计方法，用来衡量两个变量的依赖性，适用于评估两个变量之间的单调关系，无论它们是否线性。当数据不满足正态分布，或者是序数数据时，该方法特别有用。斯皮尔曼等级相关系数通过排序每个变量的值并对这些排名进行比较来计算。

它的计算公式为:

ρ=1-6∑di2n(n2-1)

其中:ρ :斯皮尔曼等级相关系数 di:两组排序型变量的第i对数据的排序差异 n:两组变量的样本量。

3.3.肯德尔等级相关

肯德尔等级相关（Kendall rank correlation），也被称作肯德尔秩相关系数或肯德尔的tau系数（Kendall's tau coefficient），是一种用于测量两个随机变量之间序数关联程度的非参数统计方法。其核心思想是通过计数数据中的一致对（concordant pairs）与不一致对（discordant pairs）来评估两个变量间的相关性。

肯德尔等级相关的计算步骤如下：

步骤一：

对每一对数据点，观察两个变量中一个在另一个之前增加还是减少。如果两个变量都增加或都减少，那么这对数据被视为一致对（concordant）。如果一个变量增加而另一个减少，则视为不一致对（discordant）。

步骤二：

对所有的数据点对，计算一致对的数量（记为C）和不一致对的数量（记为D）。

步骤三：

肯德尔秩相关系数τ可以通过以下公式来计算：

τ = (C - D) / sqrt((C + D + T) * (C + D + U))

其中，T和U分别是为两个变量计算得到的与每个数据点值绑定的平级点数量（ties）。当所有数据都有唯一的秩时，T和U等于0，此时上述公式可以简化为：

τ = (C - D) / (n * (n - 1) / 2)

这里的n是数据点的数量。

肯德尔等级相关的值范围从-1到1。如果τ为1，表示存在完全的一致性（即所有的对都是一致对），说明两个变量之间有完全的正相关；如果τ为-1，表明所有的对都不一致，即完全的负相关。若τ接近0，则表明两个变量之间没有显著的等级相关。