数据结构（九）---并查集

news2024/10/6 10:35:48

1.集合

2.集合的相关操作

(1)查(Find)：

•Find操作的优化

(2)并(Union)：

•Union操作的优化

1.集合

数据元素之间的逻辑关系可以为集合，树形关系，线性关系，图关系。对于集合而言，一个集合可以划分为若干个互不相交的子集。在集合下，两个元素之间的关系只有两种，即从属于同一个子集或从属于不同子集。

那么怎么表示这样的关系呢？在讲解森林时，提到过森林的概念，即互不相交的树的集合，那么在这里，我们可以把不同子集的元素放到不同的树中表示。

2.集合的相关操作

并查集(Disjoint Set)是逻辑结构，也就是对集合的一种具体实现，只进行“并”和“查”两种基本操作。

(1)查(Find)：

•要想找到某一个元素属于哪一个集合，可以从指定元素出发，一路向上找到其唯一对应的根节点（有几个根节点，就有几棵树，就有几个集合）。

在树的存储结构中，我们讲了双亲表示法，孩子表示法，孩子兄弟表示法，用哪种方法表示集合比较合适呢？

因为在集合中，需要向上找到根节点，显然使用双亲表示法更加方便。即，用一个静态数组，就能表示出父子的关系。忘记了可以看看：树

例如下图，元素L的数组下标是11，其父节点为数组下标为4的元素，即E，如此推上去，直到推到数组下标为0的元素，就是根节点了。

① 初始化并查集，将各个元素初始化为各自独立的子集。

#define SIZE 13
int UFSets[SIZE];    //集合元素数组

//初始化并查集
void Initial(int s[]){
    for(int i=0;i<SIZE;i++)
        s[i]=-1;
}

② 查操作

// Find 操作，找 x 所属集合（返回 x 所属根结点）
int Find(int s[], int x) {
    while (s[x] >= 0)
        x = s[x];    // 循环寻找 x 的根
    return x;    // 返回根节点的下标
}

时间复杂度：

对于下图，如果想查找J元素所属的集合，只需要向上找一次就可以找到根节点。

但是对于下图，就需要向上找很多层，才能找到根节点。

所以，若节点数为n，Find最坏时间复杂度为O(n),可以看到Find最坏时间复杂度与高度h直接相关，所以优化并查集的效率时，可以在合并树时减小树的高度。这一点留到“合并树”的时候讲。

•如果想判断两个元素是否属于同一个集合，那就分别查找两个元素的根节点，判断根节点是否相同。

bool Compare(int Root1, int Root2) {
    if (Find(Root1) == Find(Root2))
        return true;
    else
        return false;
}

•Find操作的优化

之前使用的Find操作是从指定节点出发，根据s[ ]，向上找到所属根节点，这样向上的路径称为“查找路径”，而Find的优化操作就是要压缩这条路径，即“压缩路径”。具体操作就是先找到根节点，再将查找路径上所有结点都挂到根结点下。

例如下图，是执行节点L的查找路径：

压缩路径就是将图中蓝色的节点全部挂到A节点下。这样，从L节点向上找根节点的路径就被压缩了。

优化代码如下：

//Find"查"操作优化，先找到根节点再进行"压缩路径"
int Find(int S[],int x){
    int root = x;
    while(S[root]>=0)    root=S[root];  //循环找到根
    while(x!=root){ //压缩路径
        int t=S[x];    //t指向x的父节点
        S[x]=root;   //x直接挂到根节点下 
        x=t;
    }
    return root;    //返回根节点编号
}

每次 Find 操作，先找根，再“压缩路径”，可使树的高度不超过O( $\alpha$ (n))。 $\alpha$ (n)是一个增长很缓慢的函数，对于常见的n值，通常 $\alpha$ (n)≤4，因此优化后并查集的Find、Union操作时间开销都很低。

具体地，Find最坏时间复杂度为 $O(\alpha (n))$ ，将n个独立元素通过多次Union合并为一个集合的最坏时间复杂度为 $O(n*\alpha (n))$ （n个元素需要合并n-1次）。

(2)并(Union)：

•要想将两个集合“并”为同一个集合，可以将一棵树作为另外一棵树的子树。

//Union"并"操作，将两个集合合并为一个
void Union(int s[],int Root1,int Root2){
    //要求Root1与Root2是不同的集合
    if(Rootl==Root2)    return;
    //将根Root2连接到另一根Root1下面
    S[Root2]=Root1;
}
//时间复杂度：O(1)

S[Root2]=Root1达到的效果如下（假设要将以C为根节点的树合并为以A为根节点的子树）：

刚开始Root1 = 0；Root2 = 2；将S[2]=0

也就是将C的父节点指向0号元素A

若想将n个独立元素通过多次Union合并为一个集合，最坏时间复杂度为O(n^2)。因为要合并n个独立的元素，需要n-1次Union，每一次Union之前需要从指定节点出发找到两个集合的根节点，而Find操作时间复杂度为O(n)，所以重复n-1次的Union，最坏时间复杂度为O(n^2)。

•Union操作的优化

为了使“查”的效率更高，合并树时可以让小树合并到大树中，这样就不会增加树的高度了。

那么如何表示一棵树的大小呢？可以用根节点的绝对值表示树的结点总数。

例如下图2，以A为最左边树的根节点，A所对应的数组的值为-6，|-6|就是这棵树的节点总数。同理，以C为根节点的树有两个节点，以D为根节点的树有5个节点。

优化代码如下：

//Union"并"操作，小树合并到大树
void Union(int S[],int Rootl,int Root2){
    if(Rootl == Root2)    return;
    if(S[Root2]>S[Root1]){     //Root2结点数更少    
        S[Root1]+= S[Root2];    //累加结点总数
        S[Root2]=Rootl;    //小树合并到大树
    } else {
        S[Root2]+= S[Root1];    //累加结点总数
        S[Root1]=Root2;    //小树合并到大树
    }
}
//改进的Union操作时间复杂度依旧是O(1)

用该方法优化“Union”操作后，构造的树高不超过 $\left \lfloor log_{2}n \right \rfloor+1$ ，那么Find操作的最坏时间复杂度也能到O( $log_{2}n$ )，将n个独立元素通过多次Union合并为一个集合的最坏时间复杂度为O(n*log2^n)