基本原理

谱聚类是一种基于图论的聚类方法，所谓图，就是将空间中的所有点连接起来，只要这些连接中出现了一个圈，就可以称之为图。如果把这些连线加上一个权重，就叫做加权图。

如果连线越长则权重越小，连线越短则权重越大，然后把权重最小的边切断，使得一个图变成两个图，便完成了一次聚类，这就是谱算法的基本思路，而其基本流程，就是构图->切图。

所以，问题来了，如何构图？若将所有的点都连接起来，这显然有些离谱，毕竟这种平方级别的复杂度不是一般内存能吃得消的，作为有一点聚类基础的人，第一时间就会想到KNN算法，即k近邻。

由于谱聚类中，两个点是否要被切断，最关键的因素是短边而非长边，所以只要将点与其最近的k个点连接起来就行了。这样得到的图有一个问题，即x最近的k个点中可能有y，但y最近的k个点中可能没有x，像极了女神和你。

对此有两种解决方案，一种是x也不要y了，另一种是强制让x加入到y的近邻中。

除了k近邻之外，还可以定死一个距离r，凡是距离小于r的都连线，大于r的都不连线。由于点和点之间的距离往往相差较大，故其权重一般会在距离的基础上做一些变换，这个变换在下文乘坐权重函数。

sklearn中谱聚类的构造

在sklearn中，谱聚类的构造函数为

SpectralClustering(n_clusters=8, *, eigen_solver=None, n_components=None, random_state=None, n_init=10, gamma=1.0, affinity='rbf', n_neighbors=10, eigen_tol='auto', assign_labels='kmeans', degree=3, coef0=1, kernel_params=None, n_jobs=None)

其中affinity参数表示构图方法，可以输入字符串或者sklearn.metrics.pairwise.pairwise_kernels中的函数，当输入字符串时：

• nearest_neighbors: 表示采用最邻近算法
• rbf：即rbf方法，表达式为$e^{-\gamma d_{ij}^2}$，$d_{ij}$表示点i和j的距离。

在pairwise_kernels中，还支持5种变换方法：rbf,sigmoid, polynomial/poly, linear, cosine。

当选择最近邻算法时，可通过参数n_neighbors来设置最近邻的个数，即KNN的K。

当选择rbf时，可通过参数gamma来设置权重函数的系数$\gamma$。

当选择poly或者polynomial时，表示采用多项式函数，可通过degree来设置最高次的值。

当采用多项式或者sigmoid时，可通过coef0来设置0阶项系数。

通过kernel_params可以设置更加复杂的权重函数的系数。

此外，还有如下常用的参数

• n_clusters 聚类数
• eigen_solver 特征值分解策略，可选'arpack', 'lobpcg'和'amg'；其中amg要求安装pyamg，可以更快地处理大规模样本，但可能有点不稳定；
• random_state：随机数种子，便于结果复现
• n_init：k-means算法的初值个数
• eigen_tol：精度要求
• assign_labels：表示分配标签的策略，可选kmeans, discretize和cluster_qr
• n_jobs 并行数

实战

import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.cluster import SpectralClustering
import matplotlib.pyplot as plt

X, y = datasets.make_circles(n_samples=1000, factor=0.5, noise=0.05)

fig = plt.figure()

# 谱聚类默认聚类数为8
model = SpectralClustering().fit(X)
ax = fig.add_subplot(131)
ax.scatter(X[:,0], X[:,1], c=model.labels_, marker='.')

model = SpectralClustering(n_clusters=2).fit(X)
ax = fig.add_subplot(132)
ax.scatter(X[:,0], X[:,1], c=model.labels_, marker='.')


model = SpectralClustering(n_clusters=2, affinity="nearest_neighbors").fit(X)
ax = fig.add_subplot(133)
ax.scatter(X[:,0], X[:,1], c=model.labels_, marker='.')

plt.show()

效果为

SpectralClustering有一个成员是affitiny_matrix_，存储了连接矩阵，将其调出后，可绘制具体的图

model = SpectralClustering( affinity="nearest_neighbors").fit(X)
inds = model.affinity_matrix_.nonzero()
inds = np.array(inds).T

for ind in inds:
    tmp = plt.plot(X[ind,0], X[ind, 1], c='g', lw=0.5)

plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=model.labels_, marker='o')

plt.show()

效果为