123. 买卖股票的最佳时机 III
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出：6 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。 随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5] 输出：4 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。 因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = [1] 输出：0
思路:
1.确定dp数组以及下标的含义
一天一共就有五个状态，
1.没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
2.第一次持有股票
3.第一次不持有股票
4.第二次持有股票
5.第二次不持有股票
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金
2.确定递推公式
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
1)操作一：第i天买入第一支股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
2)操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入第一支股票的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
达到dp[i][2]状态，有两个具体操作：
1)操作一：第i天卖出第一支股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
2)操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出第一支股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
达到dp[i][3]状态，有两个具体操作：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
达到dp[i][4]状态，有两个具体操作：
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
3.初始化
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？
此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;
题条件是最多买两次
第0天只最多只能买一次,第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
4.确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值
5.举例推导
代码参考:
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[][] dp=new int[prices.length][5];
//初始化
dp[0][0]=0;
dp[0][1]=-prices[0];
dp[0][2]=0;
dp[0][3]=-prices[0];
dp[0][4]=0;
for(int i=1;i<prices.length;i++){
dp[i][0]=dp[i-1][0];
dp[i][1]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
dp[i][2]=Math.max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]);
dp[i][3]=Math.max(dp[i-1][3],dp[i-1][2]-prices[i]);
dp[i][4]=Math.max(dp[i-1][4],dp[i-1][3]+prices[i]);
}
return dp[prices.length-1][4];
}
}188. 买卖股票的最佳时机 IV
给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1] 输出：2 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
示例 2：
输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
提示：
1 <= k <= 1001 <= prices.length <= 10000 <= prices[i] <= 1000
思路:
1.确定dp数组以及下标的含义
使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]
j的状态表示为：
- 0 表示不操作
- 1 第一次买入
- 2 第一次卖出
- 3 第二次买入
- 4 第二次卖出
- .....
题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了
2.确定递推公式
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
1)操作一：第i天买入第一支股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
2)操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入第一支股票的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
达到dp[i][2]状态，有两个具体操作：
1)操作一：第i天卖出第一支股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
2)操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出第一支股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
达到dp[i][3]状态，有两个具体操作：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
达到dp[i][4]状态，有两个具体操作：
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
........同理可以类比剩下的状态
3.dp数组如何初始化
可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]
4.确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
5.举例
k=2,prices=[1,2,3,4]
代码参考
class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
int[][] dp=new int[prices.length][2*k+1];
//初始化
for(int i=1;i<2*k;i=i+2){
dp[0][i]=0-prices[0];
}
//
for(int i=1;i<prices.length;i++){
for(int j=1;j<2*k+1;j++){
//奇数买入
if(j%2==1)dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]-prices[i]);
//偶数卖出
if(j%2==0)dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+prices[i]);
}
}
return dp[prices.length-1][2*k];
}
}
