基于栈求解迷宫的单条路径和所有路径

数据结构与算法课的一个实验，记录一下。

单纯想要了解利用栈求解迷宫的算法可以直接跳转到相应的小标题。

完整代码链接code_2024/mazeLab · LeePlace_OUC/code - 码云 - 开源中国 (gitee.com)

文章目录

- - 要求
  - 栈的实现
  - MazeType类型的组织
  - 迷宫的初始化和销毁
  - 打印路径
  - 单条路径求解
  - - 代码实现
    - 测试
  - 所有路径求解
  - - 代码实现
    - 测试
  - 对要求中其他点的回答

要求

基于教材和课件讲解内容，利用自己实现的栈结构完成可运行的迷宫求解程序
实现教材或课件中未给出的“可通”函数、“足迹打印”函数、“下一位置”函数、“打印不能通过的位置”函数等功能函数
实现MazeType数据类型，及可能会用到的数据对象（如，入口、出口、位置属性是墙或通路）、数据关系（如，位置之间的相邻关系）、基本操作（如，返回某个坐标位置是墙还是通路）
测试有通路和没通路等不同结果的输入迷宫
尝试进一步完善迷宫求解程序，使得从入口到出口有多条简单路径的迷宫的所有路径都能求解出来，或者从多条可行的路径中给出最短路径。
通过实验结果对比“入口-出口相对方向”和“探索方向的优先顺序”一致或不一致时，迷宫求解程序的运行效率。例如，当出口在入口的右下方向时，探索优先顺序是右下左上，或者上左下右时，程序运行“时间/效率/试过的位置数”是不一样的
分析“可通”函数原理，解释为什么迷宫求解程序得到的路径不会有环

栈的实现

首先要求实现自己的栈结构，模仿stl库里的stack接口，包含入栈push、出栈pop、获取栈顶元素top、判断栈是否为空empty等基本操作。

// 因为后续入栈的元素类型不确定，所以实现成类模板
template <typename T>
class Stack
{
private:
    T *_stack;
    int _top;
    int _size;
    
public:
    // 默认构造函数，初始容量默认100
    Stack(int size = 100)
        : _size(size), _top(-1)
    {
        _stack = new T[size];
    }

    // 析构函数，直接释放掉开辟的数组空间即可
    ~Stack()
    {
        delete[] _stack;
    }

    // 入栈操作
    void push(const T& x)
    {
        // 首先判断栈是否满了，满了则需要扩容
        if (_top == _size - 1)
        {
            T* newStack = new T[_size * 2];
            for (int i = 0; i < _size; i++)
                newStack[i] = _stack[i];
            delete[] _stack;
            _stack = newStack;
            _size *= 2;
        }
        if (_top < _size - 1)
            _stack[++_top] = x;
    }

    // 出栈，直接top--，当然栈中要有元素
    void pop()
    {
        if (_top >= 0)
            _top--;
    }

    // 获取栈顶元素，直接返回即可
    T& top()
    {
        return _stack[_top];
    }

    // 用top判空
    bool empty()
    {
        return _top == -1;
    }
};

这一步还是很简单的，没什么难度。

MazeType类型的组织

用一个全局的二维数组来存储迷宫，数组元素为0或1，1表示这个位置是墙。

因为需要取路径点进栈，所以需要组织数据结构描述迷宫中的路径点，只需要三个数据成员即可表示，横纵坐标和当前节点的前进方向，所以声明MazeType结构：

struct MazeType
{
    int x;		// 横坐标
    int y;		// 纵坐标
    int dir;	// 方向，0：向右、1：向下、2：向左、3：向上
    
    // 简单的构造函数
    MazeType(int x = 0, int y = 0, int dir = 0)
        : x(x), y(y), dir(dir)
    {}
};

后面用栈求路径时会有几种操作，比如判断当前这个位置是否是终点、是否可通，留下足迹表示这个点走过了，这个点下一步应该走到那个位置，留下足迹表示这个点在当前路径下是不可通的等等。将这些基本操作实现为成员函数。

下面依次进行实现，首先判断是否是终点，很简单，实现一个判断逻辑相等运算符重载即可，后面用的时候直接if (pos == out)：

bool operator==(MazeType &a)
{
    return x == a.x && y == a.y;
}

然后是判断是否可通，很简单，只要当前位置在迷宫中的标识是0就是可通的，如果是1则是墙不可通，或者是在栈中的(也会进行相应标识)也不可通：

bool IsPass()
{
    if (maze[x][y] == 0)
        return true;
    return false;
}

然后是留下足迹表示这个点走过了，也就是在栈中：

void FootPrint()
{
    maze[x][y] = dir + 2;
}

这里直接将迷宫中对应位置设置成方向号+2，因为不能和0、1重了，所以直接这样设了，还方便后续直接打印路径。

接下来是求下一个路径点，也很简单，直接根据方向号加减对应坐标即可：

MazeType NextPos()
{
    MazeType next(x, y);
    switch (dir)
    {
    case 0: // 向右，列数加1
        next.y++;
        break;
    case 1: // 向下，行数加1
        next.x++;
        break;
    case 2: // 向左，列数减1
        next.y--;
        break;
    case 3: // 向上，行数减1
        next.x--;
        break;
    }
    return next;
}

最后是留下足迹表示从这个点走下去走不通，这个一般是在路径点所有方向遍历完之后出栈用：

void MakePrint()
{
    maze[x][y] = -1;
}

所以完整的MazeType结构的定义如下：

struct MazeType
{
    int x;
    int y;
    int dir;

    MazeType(int x = 0, int y = 0, int dir = 0)
        : x(x), y(y), dir(dir)
    {}

    bool operator==(MazeType &a)
    {
        return x == a.x && y == a.y;
    }

    bool IsPass()
    {
        if (maze[x][y] == 0)
            return true;
        return false;
    }

    void FootPrint()
    {
        maze[x][y] = dir + 2;
    }

    MazeType NextPos()
    {
        // next的dir直接缺省，默认为0，这个一定要注意，千万不要写成next(x, y, dir)
        // 别问，问就是一开始写错了，debug好久
        MazeType next(x, y);
        switch (dir)
        {
        case 0: // 向右，列数加1
            next.y++;
            break;
        case 1: // 向下，行数加1
            next.x++;
            break;
        case 2: // 向左，列数减1
            next.y--;
            break;
        case 3: // 向上，行数减1
            next.x--;
            break;
        }
        return next;
    }

    void MakePrint()
    {
        maze[x][y] = -1;
    }
};

迷宫的初始化和销毁

这一模块主要是处理输入的，输入格式为迷宫的行号和列号，接下来几行就是0/1迷宫了，加下来两行是起点和终点的坐标，对于这一部分关键变量直接定义成全局的，减少设计参数的负担。

首先是初始化迷宫，对于迷宫的输入，要求不包括边界，边界在代码中手动添加，就是一圈1，这样就不用考虑是否越界的问题了：

int** maze, row, col;

void InitMaze()
{
    cout << "请输入迷宫的行数和列数：";
    cin >> row >> col;

    // 申请空间
    maze = new int*[row + 2];
    for (int i = 0; i < row + 2; i++)
        maze[i] = new int[col + 2];
    
    // 初始化迷宫的边界
    for (int i = 0; i < row + 2; i++)
    {
        maze[i][0] = 1;
        maze[i][col + 1] = 1;
    }
    for (int i = 0; i < col + 2; i++)
    {
        maze[0][i] = 1;
        maze[row + 1][i] = 1;
    }

    // 输入迷宫数据
    cout << "请输入迷宫的数据：" << endl;
    for (int i = 1; i <= row; i++)
        for (int j = 1; j <= col; j++)
            cin >> maze[i][j];
}

对应的是销毁，也就是释放空间：

void DestroyMaze()
{
    for (int i = 0; i < row + 2; i++)
        delete[] maze[i];
    delete[] maze;
}

起点终点的输入处理也在这块写了。终点和起点用两个MazeType对象表示，也设置成全局的：

MazeType in, out;
void InitStartAndEnd()
{
    cout << "请输入起点的坐标：";
    cin >> in.x >> in.y;
    cout << "请输入终点的坐标：";
    cin >> out.x >> out.y;
}

这块对输入的处理均没有考虑容错，假设所有输入都是合法的。

打印路径

为了形象一点，直接把路径从迷宫中标出来，墙用■来表示，如果路径存在的的话用箭头来标识：

void PrintPath()
{
    for (int i = 0; i < row + 2; i++)
    {
        for (int j = 0; j < col + 2; j++)
        {
            if (maze[i][j] == 1)
                cout << "■ ";
            else if (maze[i][j] == 2)
                cout << "→ ";
            else if (maze[i][j] == 3)
                cout << "↓ ";
            else if (maze[i][j] == 4)
                cout << "← ";
            else if (maze[i][j] == 5)
                cout << "↑ ";
            else
                cout << "  ";
        }
        cout << endl;
    }
}

单条路径求解

代码实现

利用栈其实就是dfs。

一开始起始点入栈，然后取栈顶元素作为当前路径点，判断该路径点是否可通，如果可通，则走到下一个点，下一个点入栈，继续重复这个过程。

如果不可通，则需要进行回退，也就是出栈，取新的栈顶元素，也就是上一个点，换一个方向继续走，如果所有方向都走完了，说明从这个点只会走到死路，留下死路标记，这个点出栈，继续重复。

如果走到了终点就打印路径然后返回，如果走着走着栈为空了，则说明不存在从起点到终点的路径。

明白这个过程代码还是容易写的：

Stack<MazeType> stack;		// 栈对象也定义成全局的
bool MazePath()
{
    MazeType curpos = in;	// curpos表示当前走到的位置，初始化为起点
    int steps = 1;			// steps记录当前探索过的步数，不是实际路径长度
    do						// 用do-while省去初始化步骤
    {
        if (curpos.IsPass())	// 当前位置可通，留下足迹然后找下一个位置
        {
            curpos.FootPrint();	// 留下足迹
            stack.push(curpos);	// 当前位置入栈
            if (curpos == out)	// 走到终点
            {
                cout << "找到路径，一共探索了" << steps << "步：" << endl;
                PrintPath();	// 打印路径
                return true;
            }
            curpos = curpos.NextPos();	// 迭代到下一位置继续
            steps++;		// 探索步数+1
        }
        else				// 当前位置不可通，回溯，需要依次取栈顶元素，也就是上一个点，换方向走
        {
            if (!stack.empty())	// 栈不为空，还有可以换方向的路径点
            {
                MazeType tmp = stack.top();
                stack.pop();
                // 当前路径点的所有方向都走过了，需要标记为死路然后继续取栈顶元素
                while (tmp.dir == 4 && !stack.empty())
                {
                    tmp.MakePrint();
                    tmp = stack.top();
                    stack.pop();
                }
                // 当前路径点还可以变方向，换个方向入栈，然后从新的点继续走
                if (tmp.dir < 4)
                {
                    tmp.dir++;				// 换个方向
                    stack.push(tmp);		// 重新入栈
                    tmp.FootPrint();		// 更新足迹
                    curpos = tmp.NextPos();	// 更新新方向的下一个点
                    steps++;				// 探索步数+1
                }
            }
        }
    } while (!stack.empty());
	// 走到这里说明栈中已经没有路径点了，即起点的四个方向都探索遍了，无路可走
    return false;	
}

这个问题的解空间可以用树来表示，根节点为起点，四个分支，每个分支指向下一个点，然后下一个点又有四个分支…如果用dfs其实是不好求解最短路径的，不过可以求所有路径。求最短路径还得是bfs。

测试

测试代码写在main函数中，如下：

int main()
{
    InitMaze();
    InitStartAndEnd();
    bool flag = MazePath();
    if (!flag)
    {
        cout << "没有找到路径，迷宫无解：" << endl;
        PrintPath();
    }
    DestroyMaze();
    return 0;
}

提供两组测试用例，一组有路径，一组没路径：

13 18
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 1
13 18

运行如下：

无路径的测试用例：

8 8
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 1 1 0 1 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 1
8 8

运行如下：

所有路径求解

代码实现

这次测试用例就简化一下，用一个3*3的无墙迷宫：

求所有路径和求单条路径的区别在于当走到终点时，不应直接返回，而是回溯继续走。

如果只考虑到这点，修改代码后跑出来的结果如下：

这其实是因为前面的路径点不会“回头”的原因。比如这个点已经是向下了，那它以后都不会再向右，因为回溯到该点的时候它的方向还是保留的上一条路径中的方向，所以会沿着上一条路径的方向走下去。

比如这个点已经是向下了，那它以后都不会再向右，但实际向右的话还有路。

一个解决方法是找到一条路径后从头再走一遍，但是这样效率极低，并且不好处理相同路径。

换个角度，每个点只会走一次，所有方向走完之后会被设置为死路点，但是在另一条路径中又会走到之前的点。

所以采取在每个点的所有方向都走一遍之后不将其设置为不可通，而改为初始未走过的状态，这样以后还可以走到该点。

给MazeType类型增加一个清除足迹的函数：

void ClearPrint()
{
    maze[x][y] = 0;
}

改进后的MazePath函数如下：

bool flag = false;
Stack<MazeType> stack;
void MazePath()
{
    MazeType curpos = in;
    int steps = 1;
    do
    {
        if (curpos.IsPass())
        {
            curpos.FootPrint();
            stack.push(curpos);
            if (curpos == out)
            {
                flag = true;
                cout << "找到路径，一共探索了" << steps << "步：" << endl;
                PrintPath();
                // 继续寻找其他路径，根节点出栈
                curpos = stack.top();
                stack.pop();
                curpos.ClearPrint();	// 清除根节点的痕迹，保证以后还能走到根节点
                curpos = stack.top();
                curpos.dir++;			// 上一个点换个方向，继续向下走
                steps--;				// 这个是否需要--存疑，不太确定，但还是写了
                continue;				// 不要返回，继续循环
            }
            curpos = curpos.NextPos();
            steps++;
        }
        else
        {
            if (!stack.empty())
            {
                MazeType tmp = stack.top();
                stack.pop();
                while (tmp.dir == 4 && !stack.empty())
                {
                    tmp.ClearPrint();	// 四个方向都走不通，清除足迹
                    tmp = stack.top();
                    stack.pop();
                }
                if (tmp.dir < 4)
                {
                    tmp.dir++;
                    stack.push(tmp);
                    tmp.FootPrint();
                    curpos = tmp.NextPos();
                    steps++;
                }
            }
        }
    } while (!stack.empty());
}

我写完之后其实还是有点怀疑的，毕竟当一个点四个方向都试过时候就清楚它的足迹，这样不会导致死循环吗？

其实结合一下dfs遍历路径树就好理解了，求出所有路径也就是遍历完整颗树时，回到了根节点，此时栈中只剩起点，并且起点的四个方向都走完了，此时清楚其走过的痕迹，然后出栈，接下来栈就空了，循环不会再继续了。

所以如果有路径的话，在求完所有路径之后，循环也就停了。

测试

还是用一开始给的测试用例，结果如下：

用没有路径的用例进行测试，结果也是对的：

对于最短路径，可以在打印的时候统计一下有多少个箭头，箭头的数量就是路径的长度，箭头数最少的那个就是最短路径，可以使用额外的数据结构进行保存，就不展开说了。不推荐用dfs求最短路径。

对要求中其他点的回答

通过实验结果对比“入口-出口相对方向”和“探索方向的优先顺序”一致或不一致时，迷宫求解程序的运行效率。

对这点程序早有准备，使用一个steps变量进行计数，下面使用求单路径的代码进行测试。

我设置的探索优先顺序是右下左上，测试用例提供的起点是(1, 1)，终点是(13, 18)，为左上到右下，优先级设置的比较合理，不会出现大量的点往上或往左走，上面求得的探索过的次数为486次。

下面将终点和起点反过来，起点在右下，终点在左上。

此时测试结果如下：

结果有点尴尬，竟然更快了。。

显然这还和迷宫的地形有关，沿着右下左上的优先级使中间那一部分点直接沿着墙根走了，所以会快很多。

下面取消所有墙，重新进行几组测试。

测试数据如下：
6 6
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
第一组：(1,1)->(1,6) vs (1,6)->(1,1)：

第二组：(1,1)->(6,6) vs (6,6)->(1,1)：

第三组：(3,3)->(4,4) vs (4,4)->(3,3)：

可见在排除迷宫结构的因素下，当参照起点和终点的相对位置设置方向优先级时，是可以提高求解效率的。