【五十一】【算法分析与设计】KMP 算法，KMP 算法的作用，KMP 算法流程，KMP 算法证明，KMP 算法代码

news2025/2/7 7:36:53

KMP 算法的作用，解决的问题

KMP 算法的流程

Next 数组

KMP 算法正式过程

KMP 算法的证明过程

Next 数组的求法

Next 数组求法的证明过程

KMP 算法代码

结尾

KMP 算法的作用，解决的问题

首先给你一个字符串 str，然后又给你一个字符串 match，请你再 str 的子串中找，是否存在字符与 match 匹配，如果找到了返回该子串在 str 的开始位置下标，如果没有找到返回 -1。

暴力解法，遍历所有子串需要 O（N*M）的时间复杂度，KMP 算法可以只用 O（N）时间复杂度解决这个问题。

KMP 算法的流程与证明过程

Next 数组

对于 match 数组的每一个元素都有一个对应的数值，存储在 next 数组中。

match[i]对应 next[i]。

next[i]存储的值是，i 位置前面部分的最长公共前后缀的长度。

i 位置前面部分是指 0～i-1 区间。

例如 0～i-1 区间对应字符串为 abcabc。

前缀序列指的是 a，ab，abc，abca，abcab。

后缀序列指的是 c，bc，abc，cabc，bcabc。

公共前后缀长度是指，前后缀序列相同的长度，例如 a 与 c 前后缀序列不相同，ab 与 bc 前后缀序列不相同，abc 与 abc 前后缀长度相同，长度为 3，abca 与 cabc 前后缀序列不相同，abcab 与 bcabc 前后缀序列不相同。

因此最长公共前后缀长度为 3。

人为规定 next[0]=-1，next[1]=0。

KMP 算法正式过程

如果 str[i～X-1]全部与 match[0～Y-1]匹配成功，此时 X 与 Y 匹配失败，Y=next[Y]，Y 回退到对应 next 存储的下标位置。

然后新的 Y 下标与 X 继续匹配。

如果 next[Y]==-1，此时说明 Y==0，X++，然后新的 X 下标和 Y 继续匹配。

如果 X 与 Y 匹配成功，X++，Y++，新的 X 与新的 Y 继续匹配。

直到 XY 其中一个越界，如果 X 越界说明 Y 还没有匹配完，后面没有字符了，说明匹配失败，返回 -1。

如果 Y 越界，说明 Y 匹配完了，匹配成功，对应的 str 匹配子串开始下标位置是 X-Y。

KMP 算法的证明过程

1.

如果 str[i～X-1]全部与 match[0～Y-1]匹配成功，此时 X 与 Y 匹配失败，Y=next[Y]，Y 回退到对应 next 存储的下标位置。

然后新的 Y 下标与 X 继续匹配。

A 部分和 B 部分相同，C 部分与 B 部分相同，说明 A 部分和 C 部分相同，Y 回退到 next[Y]位置，相当于已经匹配完 AC 部分接下来匹配红色 Y 与 X 位置元素。

为什么 A 部分前面都可以不用考虑？

假设 A 部分前面开始匹配可以匹配成功，那么蓝色框框部分就是匹配成功的子串，上面蓝色部分 C 对应下面蓝色部分 C 是相同的，上面蓝色部分前面一段 C 和绿色框框 D 是相同的，也就是下面绿色 D 和蓝色 C 是相同的，那么 Y 的 next[Y]得到了一个更大的长度，我们 next[Y]最长公共前后缀是 BC 部分，现在推出一个更长的公共前后缀，推出矛盾，说明 A 部分前面都不用考虑。

Next 数组的求法

假设 0～Y-1 的 next 都求完了，cn 是 Y-1 对应的 next 值。

如果 match[cn]==match[Y-1]，next[Y]=cn+1。

如果 match[cn]！=match[Y-1],cn=next[cn].

然后新的 cn 继续与 Y-1 进行判断。

如果 next[cn]==-1，说明 cn==0，next[Y]=0。

下一次计算的时候，cn 等于 Y-1 对应的 next 值，初始化。

Next 数组求法的证明过程

首先 next[Y]最大时 A 的长度，当且仅当 match[next[Y-1]]==match[Y]的时候，取得。这是 next[Y]的极限。

不可能大于这个值，如果大于说明最长公共前后缀求错了，推出时矛盾的。

如果 match[cn]！=match[y-1], cn=next[cn].

此时我们在判断紫色位置有没有可能时最长公共前后缀，也就是我们跳过了蓝色区间。也就是我们需要证明蓝色位置不可能是最长公共前后缀开始的位置。

同理，如果蓝色位置有可能成为答案，那么会推出最长公共前后缀求错了，推出矛盾，所以蓝色部分是不可能的区间位置。

3.以此类推....

KMP 算法代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
class code01_KMP {
public:
        static int getIndexof(string str, string match) {
                if (str.empty() || match.empty() || str.size() < match.size())
                        return -1;
                int x = 0, y = 0;
                vector<int> next = getNextVector(match);
                while (x < str.size() && y < match.size()) {
                        if (str[x] == str[y]) {//如果相等往后移
                                x++;
                                y++;
                        } else if (next[y] != -1) {//如果不相等，y后退到next[y]位置
                                y = next[y];
                        } else {//如果next[y]==-1,即y==0，x++
                                x++;
                        }
                }//x-a+1=y+1--->a=x-y
                return y == match.size() ? x - y : -1;
        }
        static vector<int> getNextVector(string match) {
                if (match.size() == 1) return { -1 };
                vector<int> next(match.size());
                next[0] = -1;
                next[1] = 0;

                int i = 2;//从下标为2位置开始计算next
                int cn = 0;//i-1位置的next数值
                while (i < next.size()) {
                        if (match[i - 1] == match[cn]) {//如果i-1位置字符与cn相等，cn是某个公共前后缀长度，cn+1表示next[i]
                                next[i++] = ++cn;
                        } else if (next[cn] != -1) {//如果next[cn]!=-1，cn=nect[cn]
                                cn = next[cn];
                        } else {//如果nect[cn]==-1,cn不能等于nect[cn]，next[i]==cn==0
                                next[i++] = 0;
                        }

                }

                return next;
        }
        static string getRandomString(int possibilities, int size) {//0-25
                srand(time(NULL));
                //string ans("", rand() % (size + 1));
                string ans("", size);
                for (int i = 0; i < ans.size(); i++) {
                        ans[i] = rand() % (possibilities + 1) + 'a';
                }
                return ans;
        }

};

int main() {
        int possibilities = 5;
        int strSize = 20;
        int matchSize = 5;

        cout << "test begin" << endl;
        string str = code01_KMP::getRandomString(possibilities, strSize);
        string match = code01_KMP::getRandomString(possibilities, matchSize);
        cout << "str:" << str << endl;
        cout << "match:" << match << endl;
        int pos = code01_KMP::getIndexof(str, match);
        if (pos != -1)
                cout << "匹配成功！ 开始下标：" << code01_KMP::getIndexof(str, match) << endl;
        else cout << "匹配失败!" << endl;

}