343. 整数拆分
给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。
返回 你可以获得的最大乘积 。
示例 1:
输入: n = 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
思路:
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
2.确定递推公式
dp[i]=max(dp[i],j*(i-j),j*dp[i-j])
j*(i-j):拆分成两个数之间相乘
j*dp[i-j]:拆分成两个及两个以上
为什么j不拆分?
从1遍历到j,相当于j已经被拆分过了
3.dp数组如何初始化
dp[2]=1:2拆分成1*1=1
0,1无法拆分,不对dp[0],dp[1]初始化
所以后面我们遍历时需要满足i-j>=2
4.确定遍历顺序
dp[i]=max(dp[i],j*(i-j),j*dp[i-j])
由地推公式可知,从左往右遍历
5.举例推导dp数组
代码:
class Solution {
public int integerBreak(int n) {
int[] dp=new int[n+1];
dp[2]=1;
//计算得出dp数组中所有值
for(int i=2;i<=n;i++){
//将 i拆分成j,i-j
for(int j=1;j<=i-2;j++){
dp[i]=Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
}
}
return dp[n];
}
}代码优化:
如图可见i可以分成1*2, 1*1*1, 2*1其中1*2和2*1其实是重复了
所以我们拆分时,让i<=i-j,即左边的数小于等于右边
class Solution {
public int integerBreak(int n) {
int[] dp=new int[n+1];
dp[2]=1;
//计算得出dp数组中所有值
for(int i=3;i<=n;i++){
//将 i拆分成j,i-j
for(int j=1;j<=i-j;j++){
dp[i]=Math.max(dp[i],Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
}
}
return dp[n];
}
}96. 不同的二叉搜索树
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
示例 1：
输入：n = 3 输出：5
示例 2：
输入：n = 1 输出：1
思路:
由图可知
当n=3时:
头结点为1,左子结点个数为0,右子节点个数为2
头结点为2,左子结点个数为1,右子节点个数为1
头结点为3,左子结点个数为2,右子节点个数为0
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]表示有i个结点时,有多少不互相同的二叉树
2.确定递推公式
如图
dp[3]=d[0]*dp[2]+dp[1]*dp[1]+dp[2]*dp[0]
故dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j]
j-1:左子结点个数
i-j:右子节点个数
3.dp数组如何初始化
dp[0]=1;
4.确定遍历顺序
由dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j]可知:dp[i]是根据之前状态得到的
5.举例推导dp数组
class Solution {
public int numTrees(int n) {
int[] dp=new int[n+1];
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
//将i个结点划分成不同左右结点的情况
for(int j=1;j<=i;j++){
dp[i]+=dp[i-j]*dp[j-1];
}
}
return dp[n];
}
}
