本文介绍Savitzky-Golay滤波器基本原理。
Savitzky-Golay滤波器（简称为S-G滤波器）被广泛地运用于数据平滑去噪，它是一种在时域内基于局域多项式最小二乘法拟合的滤波方法。这种滤波器最大的特点在于在滤除噪声的同时确保信号的形状，宽度不变。S-G滤波器滤波的效果和选取窗口宽度，多项式阶次有关。基于这种滤波器的特点，它在光谱分析（平滑滤波）中经常使用。
1.基本原理
S-G滤波器本质上属于FIR滤波器，我们知道设计FIR滤波器关键在于求得滤波器系数。对于S-G滤波器其系数即为多项式前的常系数，下面对其作简单推导。
设滤波器窗口宽度为L=2k+1，即以中心点s前后k个数据作为滤波器的窗口，多项式阶次为n。
则
进而，
H为范德蒙矩阵，经推导x的预测值
其中
1)B为与输入x无关的矩阵，也就是S-G滤波器系数
2)矩阵的行数由窗口宽度L决定，为L行
3)矩阵的列数由多项式阶次n决定，为n+1列
2.应用
1)滤波器系数求解
这里以窗口宽度为11，阶次为4为例。
在matlab中命令行输入：
order=4;
framelen=11;
v=-5:1:5;
A = fliplr(vander(v));
A=A(1:framelen,1:order+1);
B=A*inv(A'*A)*A';在matlab中有专门设计S-G滤波器的命令，这里我们对比一下2个值，在命令行输入：
order=4;
framelen=11;
b = sgolay(order,framelen);经过比较，这2个值是相等的。
注意：
a)矩阵B或b中间行向量（第6行）即为S-G滤波器的滤波器系数
b)矩阵B或b其他行在处理信号边缘（最左侧及最右侧）有用
2)信号边缘的采样值处理
a)采用sgolayfilt对信号进行处理
sgolayfilt是matlab内置的对输入信号进行S-G滤波的命令，这里以此为参考，对比信号边缘是否处理的差异。
order = 4;
framelen = 11;
lx = 36;
x = randn(lx,1);
sgf = sgolayfilt(x,order,framelen);
plot(x,':')
hold on
plot(sgf,'.-')
legend('signal','sgolay')
输出结果：
b)直接使用滤波器系数进行滤波
这里使输入信号和滤波器系数卷积进行滤波。
m = (framelen-1)/2;
B = sgolay(order,framelen);
steady = conv(x,B(m+1,:),'same');
plot(steady)
legend('signal','sgolay','steady')输出结果：
可见，直接使用滤波器系数进行滤波，在信号边缘滤波效果并不好，和matlab内置的滤波器命令也有差异。
c)对信号边缘进行处理
靠近信号边缘的采样无法放在对称窗的中心，必须区别对待。
为了确定启动瞬变，对 B 的前 (framelen-1)/2 行与信号的前 framelen 个采样执行矩阵乘法。
ybeg = B(1:m,:)*x(1:framelen);为了确定终止瞬变，对 B 的最后 (framelen-1)/2 行与信号的最后 framelen 个采样执行矩阵乘法。
yend = B(framelen-m+1:framelen,:)*x(lx-framelen+1:lx);将瞬变部分与稳态部分连接起来以生成完整信号。
cmplt = steady;
cmplt(1:m) = ybeg;
cmplt(lx-m+1:lx) = yend;
plot(cmplt)
legend('signal','sgolay','steady','complete')
hold off输出结果：
可见，经过信号边缘进行处理后，和sgolayfilt滤波后的曲线重合。
3.实现
采用Eigen库，可容易实现：
1)范德蒙矩阵生成及相关矩阵运算（主要求B）
2)卷积运算或FIR滤波
也可以使用matlab或其他工具生成滤波器系数，再使用FIR滤波器进行滤波器（注意信号边缘的处理）。这里就不做过多介绍。
本文介绍了Savitzky-Golay滤波器基本原理。
