一、柔性作业车间调度问题

柔性作业车间调度问题（Flexible Job Shop Scheduling Problem，FJSP），是一种经典的组合优化问题。在FJSP问题中，有多个作业需要在多个机器上进行加工，每个作业由一系列工序组成，每个工序需要在特定的机器上完成。同时，每个机器一次只能处理一个工序，且每个工序的处理时间可能不同。

FJSP问题的目标是找到一个最优的作业调度方案，使得所有作业的完成时间最小化。这个问题的难点在于需要考虑到多个作业、多个机器和多个工序之间的复杂关系，并且需要在有限的时间内找到最优解。

解决FJSP问题的方法包括启发式算法、精确算法和元启发式算法等。启发式算法通过一系列规则和策略来生成调度方案，常见的方法有遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等。精确算法则通过穷举搜索或者动态规划等方法来找到最优解，但在实际应用中可能面临计算复杂度过高的问题。元启发式算法则结合了多种启发式算法和精确算法的优点，通过组合不同的方法来求解FJSP问题。
FJSP问题的难点主要体现在以下几个方面：

1. 组合爆炸：FJSP问题中，每个工件都有多个工序需要完成，而每个工序都有多个可选的机器可以执行。这导致了组爆炸的问题，可能的调度方案数量非常庞，难以穷举所有可能性。

2. 优化目标多样：FJSP问题通常有多个优化目标，如最小化总加权完成时间、最小化总延迟时间等。这些目标之间可能存在冲突，使找到一个全局最优解变得困难。

3. 资源约束：FJSP问题中，每个机器在同一时间只能执行一个工序，且每个工序需要一定的时间和资源。这些资源约束增加了问题的复杂性，需要在满足约束条件的前提下进行调度。

4. 实时性要求：在实际生产中，FJSP问题通常需要考虑实时性要求，即要求在有限的时间内生成一个可行的调度方案。这增加了问题的难度，需要在有限时间内找到一个较优的解。

柔性作业车间调度问题( FJSP) 的描述如下：n个工件 { J , J 2 , . . , J n } \{J,J_2,..,J_n\} {J,J2​,..,Jn​}要在$m$ 台机器 { M 1 , M 2 , . . , M m } \{M_1,M_2,..,M_m\} {M1​,M2​,..,Mm​} 上加工。每个工件包含一道或多道工序，工序顺序是预先确定的，每道工序可以在多台不同加工机器上进行加工，工序的加工时间随加工机器的不同而不同。调度目标是为每道工序选择最合适的机器、确定每台机器上各个工序的最佳加工顺序以及开工时间，使整个系统的某些性能指标达到最优。因此，柔性作业车间调度问题包含两个子问题：确定各工件的加工机器 (机器选择子问题) 和确定各个机器上的加工先后顺序 (工序排序子问题)。

此外，在加工过程中还需要满足下面的约束条件：
(1) 同一台机器同一时刻只能加工一个工件；
(2) 同一工件的同一道工序在同一时刻只能被一台机器加工；
(3) 每个工件的每道工序一旦开始加工不能中断；
(4) 不同工件之间具有相同的优先级；
(5)不同工件的工序之间没有先后约束，同一工件的工序之间有先后约束；
(6)所有工件在零时刻都可以被加工。

1.1符号描述

$n:$工件总数；
$m:$ 机器总数；
$i,e:$ 机器序号，$i,e=1,2,3,...,m$ ;
$j,k:$ 工件序号，$j,k=1,2,3,...,n;$ $h_j:$工件$j$ 的工序总数；
$h,l:$ 工序序号，$h=1,2,3,...,h_j$ ;
${\Omega }_{jh}:$工件$j$ 的第$h$ 道工序的可选加工机器集；
$m_{jh}:$工件$j$ 的第$h$ 道工序的可选加工机器数；
$O_{jh}:$工件$j$ 的第$h$道工序；
$M_{ijh}:$工件$j$ 的第$h$道工序在机器$i$ 上加工；
$p_{ijh}:$工件$j$的第$h$道工序在机器$i$上的加工时间；
$s_{jh}:$工件$j$ 的第$h$ 道工序加工开始时间；
$c_{jh}:$工件$j$的第$h$道工序加工完成时间；
$d_j:$工件$j$ 的交货期；
$L$: 一个足够大的正数；
$C_j$: 每个工件的完成时间；
$C_{\max }:$ 最大完工时间；
$T_o:T_o={\sum }_{j=1}^n{h}_j$, 所有工件工序总数；
$x_{ijh}=\{\begin{array}{l}1,\text{如果工序}{O}_{jh}\text{选择机器}i;\\ 0,\text{否则；}\end{array}$
$y_{ijhkl}=\{\begin{array}{l}1,\text{如果}{O}_{ijh}\text{先于}{O}_{ikl}\text{加工};\\ 0,\text{否则};\end{array}$

1.2约束条件

$C_1:s_{jh}+x_{ijh}\times p_{ijh}\le c_{jh}$

其中：$i=1,\dots ,m;j=1,\dots ,n;$ $h=1,\dots ,h_j$
$C_2:c_{jh}\le s_{j(h+1)}$
其中$:j=1,\dots ,n;h=1,...,h_j-1$
$C_3:c_{j{h}_j}\le C_{\max }$
其中：$j=1,...,n$
$C_4:s_{jh}+p_{ijh}\le s_{kl}+L(1-y_{ijhkl})$

其中$:j=0,\dots ,n;k=1,\dots ,n;h=1,\dots ,h_j;l=1,\dots ,h_k;i=1,\dots ,m$
$C_5:c_{jh}\le s_{j(h+1)}+L(1-y_{iklj(h+1)})$

其中$:j=1,\dots ,n;k=0,\dots ,n;h=1,\dots ,h_j-1;l=1,\dots ,h_k;i=1,\dots ,m$
$h_1:{\sum }_{i=1}^{m_{jh}}{x}_{ijh}=1$
其中：$h=1,...,h_j;j=1,...,n;$

$h_2:{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{h=1}^{h_j}{y}_{ijhkl}=x_{ikl}$

其中：$i=1,\dots ,m;k=1,\dots ,n;l=1,\dots ,h_k$
$h_3:{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{i=1}^{n_k}{y}_{ijhkl}=x_{ijh}$

其中：$i=1,\dots ,m;j=1,\dots ,n;h=1,\dots ,h_k$
$C_6:s_{jh}\ge 0,c_{jh}\ge 0$

其中$:j=0,1,...,n;h=1,...,h_j$

$C_1$和 $C_2$表示每一个工件的工序先后顺序约束 ;
$C_3$表示工件的完工时间的约束,即每一个工件的完工时间不可能超过总的完工时间 ;
$C_4$和 $C_5$表示同一时刻同一台机器只能加工一道工序 ;
$h_1$表示机器约束,即同一时刻同一道工序只能且仅能被一台机器加工;
$h_2$和 $h_3$表示存在每一台机器上可以存在循环操作 ;
$C_6$表示各个参数变量必须是正数。

1.3目标函数

FJSP的目标函数是最大完工时间最小。完工时间是每个工件最后一道工序完成的时间，其中最大的那个时间就是最大完工时间(makespan)。它是衡量调度方案的最根本指标， 主要体现车间的生产效率，如下式所示：

$f=\min ({\max }_{\mathrm{l}\le j\le n}(C_j))$

参考文献：
[1]张国辉.柔性作业车间调度方法研究[D].华中科技大学,2009.

二、算法简介

巨型犰狳优化算法（Giant Armadillo Optimization，GAO）由Omar Alsayyed等人于2023年提出，该算法模仿了巨型犰狳在野外的自然行为。GAO设计的基本灵感来自巨型犰狳向猎物位置移动和挖掘白蚁丘的狩猎策略。GAO理论在两个阶段进行表达和数学建模：（i）基于模拟巨型犰狳向白蚁丘的运动的探索，以及（ii）基于模拟巨型犰狳的挖掘技能以捕食和撕裂白蚁丘的开发。https://blog.csdn.net/weixin_46204734/article/details/136605693

参考文献：

[1]Alsayyed O, Hamadneh T, Al-Tarawneh H, Alqudah M, Gochhait S, Leonova I, Malik OP, Dehghani M. Giant Armadillo Optimization: A New Bio-Inspired Metaheuristic Algorithm for Solving Optimization Problems. Biomimetics. 2023; 8(8):619. Biomimetics | Free Full-Text | Giant Armadillo Optimization: A New Bio-Inspired Metaheuristic Algorithm for Solving Optimization Problems

三、算法求解FJSP

3.1部分代码

dim=2*sum(operaNumVec);
LB = -jobNum * ones(1, dim);
UB = jobNum * ones(1, dim);
Max_iteration = 100;
SearchAgents_no = 100;
fobj=@(x)fitness(x, MachineNum,jobNum,jobInfo,operaNumVec,candidateMachine);

%% 优化算法求解FJSP
[fMin , bestX, Convergence_curve ] = GAO(SearchAgents_no,Max_iteration,LB,UB,dim,fobj);
machineTable=GetMachineTable(bestX, MachineNum,jobNum,jobInfo,operaNumVec,candidateMachine);

%% 画收敛曲线图
figure
plot(Convergence_curve,'r-','linewidth',2)
xlabel('迭代次数')
ylabel('最大完工时间')
legend('GAO')
saveas(gca,'1.jpg');

3.2部分结果

四、完整MATLAB代码