PID控制有物理含义吗

一、背景

对于PID的初学者，经常会有疑惑，为什么位置的误差通过PID就变成了期望速度？他们之间有什么物理关系吗？还有对于无人机，为什么期望升力，又是期望加速度，又是期望油门，这个输出的量纲到底是什么？

其实，产生这个疑问的根本原因是没有区分开环控制和闭环控制。在实际控制系统中，我们经常用到开环控制和闭环控制的组合。开环控制其实就是前馈，闭环控制是反馈。接下来将以一个简单例子，说明这种这两种控制的关系。

二、关于开环与闭环控制

对于平面上一个木块，质量为 $m=0.5\mathrm{kg}$，木块的加速度 $a$ 能够瞬间达到设置的值 $a_d$，现在希望木块达到速度 $v_d=1m/s$，请问需要设置怎样的加速度 $a_d(t)$。

2.1 开环控制

使用高中物理知识，容易想象，施加如下加速度

$$a_d(t)=\{\begin{array}{l}1,t\le 1\\ 0,t=0\end{array}$$

可以使得木块在 $1\mathrm{s}$ 时达到期望的速度 $v_d$。其实，这就是一个开环控制，在理想环境中可以成立，但是在实际环境中并不可行。实际的问题有：施加的加速度有点噪声，或者不能精确地达到 $1m/{\mathrm{s}}^2$，或者小物块的受到微小的空气阻力，这些都将会导致 $a(t)\ne a_d(t)$，积分后速度无法刚好达到 $1m/s$。再考虑几分钟，几小时甚至几天之后，让这 $1m/s$ 的速度维持下去几乎是不可能的事情。

2.2 闭环控制

为了解决这个问题，一个直观的思路就是来一个实时的控制，如果偏移了 $v_d$，就施加个反方向的加速度，也就是

$$a_d(t)=K(v_d-v)$$

其中，$K$ 为一个正的常数。如果 $v<v_d$ ，那么 $a_d>0$ ，让木块加速度；如果 $v>v_d$ ，那么 $a_d<0$ ，让木块减速。这样，一个比例控制就横空出世了。通过这样一个实时的反馈，我们有信心让这个木块几天后还保持着 $1m/s$ 的速度。控制器Simulink仿真如图1所示，效果如图2所示。

对比开环控制与闭环控制，开环控制是有明确的物理关系的，这个加速度大小与施加的时间符合运动学规律。但是闭环控制并没有这样的物理等式（但是具备物理关系），速度的误差乘以一个系数显然不等于加速度，况且这个系数还可以随意调节。

再如，控制率完全可以改为

$$a_d(t)=K\arctan (v_d-v)$$

一个非线性控制就诞生了，一样能让速度达到期望值，这更显然没有确定的物理等式。控制器Simulink仿真如图1所示，效果如图2所示。

注意区分控制器与被控对象。前面说反馈控制没有明确的物理等式，但是被控对象还是有明确的等式关系的，加速度积分是速度。如果被控对象不具备明确的物理等式，例如 $x$ 轴的加速度与 $y$ 轴的速度，那么这个系统不可控，不可控的系统也就没有设计控制器一说了。

三、关于量纲

现在假设不能直接控制木块的加速度，而是能够直接控制施加的外力。显然

$$F_d=m{a}_d=0.5a_d$$

如果使用开环控制，那么

$$F_d(t)=\{\begin{array}{l}0.5,t\le 1\\ 0,t=0\end{array}$$

如果使用闭环控制

$$F_d(t)=K^{\prime }(v_d-v)$$

此时，理论上 $K^{\prime }=0.5K$。

在实际工程中，我们把PID参数随意调大调小，输出是加速度还是力并不重要，这个量纲的转化已经包含在参数中了。

这就解释了为什么无人机中期望的升力为什么又变成期望油门。其实不用在意这个量纲，只要是升力和油门是一个正比例关系，把PID对应调大调小就完成了量纲变化。而名称根据业内习惯称呼即可。

上面说的量纲变化只针对线性关系（准确说只针对正比例关系）。如果两者有非线性关系，就不是直接调节PID大小这么简单了，可能需要设计对应的非线性控制率。如果有微积分关系，控制器结构都需要做出对应的调整。

四旋翼课程链接

1、基于PX4实现的四旋翼建模与控制[理论+源码+实战]：https://ebzbf.xetslk.com/s/3jYSUf
2、零基础入门四旋翼建模与控制(MATLAB仿真)[理论+实战]： https://ebzbf.xet.tech/s/3OMs38
3、[硬件+代码]御风250-四旋翼无人机（基于PX4）：https://ebzbf.xetslk.com/s/14S0P4