背包问题---

news2025/1/20 3:48:35

一、背包模型

有一个体积为V的背包，商店有n个物品，每个物品有一个价值v和体积w，每个物品只能被拿一次，问能够装下物品的最大价值。

这里每一种物品只有两种状态即"拿"或"不拿".

设状态dp[i][j]表示到第i个物品为止，拿的物品总体积为j的情况下的最大价值。

并不关心某个物品有没有被拿，只关心当前体积下的最大价值。

转移方程为：dp[i][j]=max(dp[i-1][j]，dp[i-1][j-w]+v)；如果不拿物品i，那么最大价值就是dp[i-1][j]，如果拿了就是从体积j-v转移过来，体积会变大w，价值增加v。

最后输出dp[n][v]；

例题---小明的背包1

https://www.lanqiao.cn/problems/1174/learning/

小明有一个容量为V的背包。这天他去商场购物，商场一共有N件物品，第i件物品的体积为 $w_{i}$ ，价值为 $v_{i}$ 。

小明想知道在购买的物品总体积不超过V的情况下所能获得的最大价值为多少，请你帮他算算。

输入描述：输入第1行包含两个正整数N，V，表示商场物品的数量和小明的背包容量。

第2~N+1行包含2个正整数w，v，表示物品的体积和价值。

1<=N<= $10^{2},1<=V<=10^{3},1<=w_{i},v_{i}<=10^{3}$ 。

输出描述：输出一行整数表示小明所能获得的最大价值。

示例：5 20

1 6

2 5

3 8

5 15

3 3 37

import java.util.Scanner;


public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int n = scan.nextInt();// num of things
        int weight = scan.nextInt();// the package weight
        int v[] = new int[n];// value of thing
        int w[] = new int[n];// weight of thing
        int dp[][] = new int[n + 1][weight + 1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            w[i] = scan.nextInt();
            v[i] = scan.nextInt();
        }
        for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
            for (int j = 0; j < weight + 1; j++) {
                if (i == 0 || j == 0) {
                    dp[i][j] = 0;
                    continue;
                }
                if (j < w[i - 1]) {
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];
                }
                else {
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], v[i-1]+dp[i-1][j-w[i-1]]);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[n][weight]);
        scan.close();
    }
}