1.具有状态依赖时滞的 DDE
以下示例说明如何使用 ddesd 对具有状态依赖时滞的 DDE（时滞微分方程）方程组求解。Enright 和Hayashi [1] 将此 DDE 方程组用作测试问题。方程组为：
方程中的时滞仅出现在 y
项中。时滞仅取决于第二个分量
y
2 t 的状态，因此这些方程构成状态依赖时滞方程组。
要在 MATLAB® 中求解此方程组，您需要先编写方程组、时滞和历史解的代码，然后再调用时滞微分方程求解器 ddesd，该求解器适用于具有状态依赖时滞的方程组。您可以将所需的函数作为局部函数包含在文件末尾（如本处所示），或者将它们作为单独的命名文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。
1.1编写时滞代码
function d = dely(t,y)
d = exp(1 - y(2));
end1.2编写方程代码
现在，创建一个函数来编写方程的代码。此函数应具有签名
dydt = ddefun(t,y,Z)
，其中：
function dydt = ddefun(t,y,Z)
dydt = [y(2);
-Z(2,1)*y(2)^2*exp(1 - y(2))];
end1.3编写历史解代码
接下来，创建一个函数来定义历史解。历史解是时间 t
≤
t
0
的解。
function v = history(t) % history function for t < t0
v = [log(t);
1./t];
end1.4求解方程
最后，定义积分区间并使用
ddesd
求解器对 DDE 求解。
tspan = [0.1 5];
sol = ddesd(@ddefun, @dely, @history, tspan);1.5对解进行绘图
解结构体 sol
具有字段
sol.x
和
sol.y，这两个字段包含求解器在这些时间点所用的内部时间步和对应的解。（如果您需要在特定点的解，可以使用
deval 来计算在特定点的解。）使用历史解函数绘制两个解分量对时间的图，以计算积分区间内的解析解来进行比较。
ta = linspace(0.1,5);
ya = history(ta);
plot(ta,ya,sol.x,sol.y,'o')
legend('y_1 exact','y_2 exact','y_1 ddesd','y_2 ddesd')
xlabel('Time t')
ylabel('Solution y')
title('D1 Problem of Enright and Hayashi')
1.6局部函数
此处列出了 DDE 求解器 ddesd 为计算解而调用的局部辅助函数。您也可以将这些函数作为它们自己的文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。
function dydt = ddefun(t,y,Z) % equation being solved
dydt = [y(2);
-Z(2,1).*y(2)^2.*exp(1 - y(2))];
end
%-------------------------------------------
function d = dely(t,y) % delay for y
d = exp(1 - y(2));
end
%-------------------------------------------
function v = history(t) % history function for t < t0
v = [log(t);
1./t];
end2具有不连续性的心血管模型 DDE
此示例说明如何使用 dde23 对具有不连续导数的心血管模型求解。此示例最初由 Ottesen [1] 提出。方程组为：
该方程组受外周压的巨大影响，外周压会从 R
= 1 . 05
急剧减少到
R
= 0 . 84
，从
t
= 600 处开始。因此，该方程组在
t
= 600 处的低阶导数具有不连续性。常历史解由以下物理参数定义
要在 MATLAB® 中求解此方程组，您需要先编写方程组、参数、时滞和历史解的代码，然后再调用时滞微分方程求解器
dde23，该求解器适用于具有常时滞的方程组。您可以将所需的函数作为局部函数包含在文件末尾（如本处所示），或者将它们作为单独的命名文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。
2.1定义物理参数
首先，将问题的物理参数定义为结构体中的字段。
p.ca = 1.55;
p.cv = 519;
p.R = 1.05;
p.r = 0.068;
p.Vstr = 67.9;
p.alpha0 = 93;
p.alphas = 93;
p.alphap = 93;
p.alphaH = 0.84;
p.beta0 = 7;
p.betas = 7;
p.betap = 7;
p.betaH = 1.17;
p.gammaH = 0;
tau = 4;2.2编写方程代码
现在，创建一个函数来编写方程的代码。此函数应具有签名
dydt = ddefun(t,y,Z,p)
，其中：
求解器自动将前三个输入传递给函数，变量名称决定如何编写方程代码。调用求解器时，参数结构体 p 将传递给函数。在本例中，时滞表示为：
function dydt = ddefun(t,y,Z,p)
if t <= 600
p.R = 1.05;
else
p.R = 0.21 * exp(600-t) + 0.84;
end
ylag = Z(:,1);
Patau = ylag(1);
Paoft = y(1);
Pvoft = y(2);
Hoft = y(3);
dPadt = - (1 / (p.ca * p.R)) * Paoft ...
+ (1/(p.ca * p.R)) * Pvoft ...
+ (1/p.ca) * p.Vstr * Hoft;
dPvdt = (1 / (p.cv * p.R)) * Paoft...
- ( 1 / (p.cv * p.R)...
+ 1 / (p.cv * p.r) ) * Pvoft;
Ts = 1 / ( 1 + (Patau / p.alphas)^p.betas );
Tp = 1 / ( 1 + (p.alphap / Paoft)^p.betap );
dHdt = (p.alphaH * Ts) / (1 + p.gammaH * Tp) ...
- p.betaH * Tp;
dydt = [dPadt; dPvdt; dHdt];
end2.3编写历史解代码
接下来，创建一个向量来定义三个分量
P
a
、
P
v
和
H
的常历史解。历史解是时间
t
≤
t
0
的解。
P0 = 93;
Paval = P0;
Pvval = (1 / (1 + p.R/p.r)) * P0;
Hval = (1 / (p.R * p.Vstr)) * (1 / (1 + p.r/p.R)) * P0;
history = [Paval; Pvval; Hval];
2.4 求解方程
使用 ddeset
来指定在
t
= 600
处存在不连续性。最后，定义积分区间
并使用
dde23 求解器对 DDE 求解。使用匿名函数指定
ddefun
以传入参数结构体
p
。
options = ddeset('Jumps',600);
tspan = [0 1000];
sol = dde23(@(t,y,Z) ddefun(t,y,Z,p), tau, history, tspan, options);2.4对解进行绘图
解结构体 sol
具有字段
sol.x
和
sol.y，这两个字段包含求解器在这些时间点所用的内部时间步和对应的解。（如果您需要在特定点的解，可以使用
deval 来计算在特定点的解。）绘制第三个解分量（心率）对时间的图。
plot(sol.x,sol.y(3,:))
title('Heart Rate for Baroreflex-Feedback Mechanism.')
xlabel('Time t')
ylabel('H(t)')
2.5局部函数
此处列出了 DDE 求解器 dde23 为计算解而调用的局部辅助函数。您也可以将这些函数作为它们自己的文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。
function dydt = ddefun(t,y,Z,p) % equation being solved
if t <= 600
p.R = 1.05;
else
p.R = 0.21 * exp(600-t) + 0.84;
end
ylag = Z(:,1);
Patau = ylag(1);
Paoft = y(1);
Pvoft = y(2);
Hoft = y(3);
dPadt = - (1 / (p.ca * p.R)) * Paoft ...
+ (1/(p.ca * p.R)) * Pvoft ...
+ (1/p.ca) * p.Vstr * Hoft;
dPvdt = (1 / (p.cv * p.R)) * Paoft...
- ( 1 / (p.cv * p.R)...
+ 1 / (p.cv * p.r) ) * Pvoft;
Ts = 1 / ( 1 + (Patau / p.alphas)^p.betas );
Tp = 1 / ( 1 + (p.alphap / Paoft)^p.betap );
dHdt = (p.alphaH * Ts) / (1 + p.gammaH * Tp) ...
- p.betaH * Tp;
dydt = [dPadt; dPvdt; dHdt];
end
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