前言

大学的《运筹学》课程中，手算单纯形法是期末的必考题了！（记得期末考试前一周，几个经常逃课的同学来我宿舍楼下，叫了辆车载我去星巴克给他们讲解这个算法，活活讲了一个多小时他们才听懂，不知道最后及格了没哈哈！）当时已经觉得是信手拈来了，但是时间久了+计算过程本身也比较繁琐，慢慢就忘了。后面为了应付面试，又拾起过，但是面完试细节又给忘了，只记得是在可行域的顶点上来回搜索。

这次想完整的梳理一篇文章（本文是跟着某位大佬的博客，在某些地方掺杂了一些自己的思考和补充知识点汇总的），帮助自己再次回顾和更深的理解单纯形法，原因是在看一些更高阶的算法时，常常需要单纯形法的预备知识！不然就很难继续往下看懂了。

废话有点多了，进入正题吧！

线性规划的标准形式

因为单纯形法就是建立在标准形式之上，在解空间沿着边界的顶点（称为单纯形，“单纯形” 用于描述凸多面体中的极端点或顶点），逐步改进目标值。所以先快速过一下如何将一个线性规划问题转为标准形式！

标准形式三要素：

1. 目标函数$minimize$ 或者 $maximize$都行，不同教材选择不一样，本文用$minimize$；
   • 不是minimize怎么办，取负就可以了。
2. 约束条件等式化；
   • 不是等式怎么办？如果是$>=$，左端减去松弛变量即可，如果是$<=$，左端加上剩余变量即可（这两个变量我看定义也有反过来的，不做纠结了，都当作是辅助变量即可）。
3. 决策变量非负化。

也就是：

其中：

一个例子理解单纯形法

4个步骤：

1. 将线性规划问题转化为标准形式；
2. 找到一个初始可行解；
3. 不断地进行旋转(pivot)操作（本质上是在顶点游走的过程）；
4. 重复步骤3直到解不能改进为止。

🌰栗子来了：
用单纯形法求解下面这个线性规划问题：

1. 将线性规划转化为标准形式

为了将不等式化为等式，我们引入了$x_4$、$x_5$、$x_6$、$x_7$ 4个辅助

2. 找到一个初始可行解

step 1: 将辅助变量用非辅助变量表示：

下式中左侧的变量都称为「基变量」，右边的变量都称为「非基变量」

step 2: 将非基变量全部取0，得到一个基本解(0, 0, 0, 4, 2, 3, 6)，很明显是可行的（不可行的情况后面在badcase里再讨论），我们称之为：基本可行解。此时的目标值$z=0$。

备注：初始可行解中，辅助变量–>基变量，原来的那些变量–>非基变量。

3. 旋转操作

【第一轮旋转】
step 1: 在目标函数里找到一个系数为负的非基变量，作为入基变量

这么做的原因是，我们现在的目标函数是$minimize$，现在有一个初始可行解了，我们怎么找到一个目标值更小的解呢？只要将目标函数里系数为负的变量，在满足约束的前提下，进一步减小就可以了！（这与在单纯形表中计算检验数是一个思想）

这里假设我们选取了$x_1$（这里有一个技巧，总是选择符合条件的下标最小的非基变量，原因是为了避免退化，后面badcase里会再讲）。

step2：将入基变量用基变量表示，准备替换：

因为我们选择的$x_1$作为入基变量，上面第2个式子和第3个式子中都有$x_1$，我们选择哪个来表示$x_1$呢？ 我们来比较一下：

• 用第2个式子表示$x_1=4-x_2-x_3-x_4$，即 $x_1\le 4$，
• 用第3个式子表示$x_1=2-x_5$，即$x_1\le 2$

我们要选择更严格/紧的那个（也是为了防止退化，后面的badcase会讲），因此，最后将$x_1$表示成：$x_1=2-x_5$

step 3: 将入基变量的表达式，带入目标函数，完成转动

一次转动选择一个非基变量（替入变量）和一个基变量（替初变量），并替换两者的角色。上式变成：

step4：非基变量变为0，更新基本解和目标函数
得到另一个可行解：(2, 0, 0, 2, 0, 3, 6)，目标函数值$z=-2$，

4. 重复旋转

【第二轮旋转】
step 1: 在目标函数里找到一个系数为负的非基变量，作为入基变量

选择$x_2$作为入基变量

step2：将入基变量用基变量表示，准备替换：

上面第2个式子和最后一个式子中都有$x_2$，我们选择哪个来表示$x_2$呢？ 我们来比较一下：

• 用第2个式子表示$x_2=2-x_3-x_4+x_5$，相当于$x_2\le 2$（$x_3和x_5$都在右边，也就是非基变量，取0，$2-x_4\le 2$）。
• 用最后一个式子表示$x_2=(6-x_3-x_7)/3$，相当于$x_2\le 2$。

因此，最后将$x_2$表示成：$x_2=2-x_3-x_4+x_5$。
这里如果用$x_2 =(6 -x_3-x_7) / 3$，最终没有算出来，会得到一个非可行解，为什么。(todo)

step 3: 将入基变量的表达式，带入目标函数，完成转动

step4：非基变量变为0，更新基本解和目标函数
新的基本解为（2，2, 0, 0, 0, 3, 0），目标函数$z=-30$

【第三轮旋转】
step 1: 在目标函数里找到一个系数为负的非基变量，作为入基变量
选择$x_5$作为入基变量，因为只有它的系数为负啦！

step2：将入基变量用基变量表示，准备替换：

上式2、3、5中都有$x_3$，我们到底用哪个来表示呢？ 我们来比较一下：

• 用第2个式子表示：$x_5=x_2+x_3+x_4-2$，即无限制；
• 用第3个式子表示：$x_5=2-x_1$，即$x_2\le 2$；
• 用第5个式子表示：$x_5=(2x_3+3x_4-x_7)/3$，即$3x_5\le 2x_3+3x_4$,$x_3{x}_4$都是非基变量，取0，$3x_5\le 0$；理解对吗？(todo)

选择约束的最紧的那个$x_5=(2x_3+3x_4-x_7)/3$。

step 3: 将入基变量的表达式，带入目标函数，完成转动

新的基本解为（0，1, 3, 0, 2, 0, 0），目标函数$z=-32$

终止条件就是目标函数中，已经没有系数为负的变量了！

一些badcase

退化

所谓退化指的是旋转过程中，目标函数值停在某个值不变了。这是使得单纯形算法不会终止的唯一原因。

解决方法——使用Bland规则：
在选择入基变量和出基变量的时候，总是选择满足条件的下标最小的变量：

1. 入基变量：目标函数中系数为负的下标最小值对应的变量；
2. 出基变量：对所有的约束条件中，选择约束条件最紧的那一个。

初始解不是可行解以及无解的情况

导致初始解不是可行解的原因：$b_i$存在负数！
具体要怎么做，有点复杂，看官直接看大佬的线性规划：单纯形法详解即可。

找不到有限制条件的替入变量——无界解

回顾一下线性规划解的4种情况：

1. 唯一最优解；
2. 无穷最优解（多重解）；
3. 无可行解；
4. 无界解。

当能找到替入变量，但对替入变量没有任何约束时（找不到替出变量？），说明是无界解的情况。

时间复杂度

最坏的情况下是非多项式的（指数时间复杂度, $O(2^n)$），绝大多数情况是多项式时间（$O(n)$ ~ $O(n^3)$）。下图左侧是多项式量级，右边是非多项式量级。

对算法时间复杂度计算感兴趣的，可以参考我的文章：算法时空复杂度分析：大O表示法。

参考资料

1. 线性规划：单纯形法详解
2. 《运筹学基础》 李志猛