1. 题目

2.解题思路

根据题意，每一天有这样几个状态：买入股票、卖出股票、冷冻期、持有股票，因此，我们假设 f 为每天这几个状态下对应的最大收益，由于持有股票时不知道是哪天买入的，所以我们还需要知道当天状态是持有股票时的买入股票价格。因此有：

$$\begin{gathered} f[0]=当天买入股票后的最大收益 \\ f[1]=当天卖出股票后的最大收益 \\ f[2]=当天是冷冻期的最大收益 \\ f[3]=当天继续持有股票的最大收益 \\ f[4]=当天持有股票的买入价格 \end{gathered}$$

状态转移时，

第 $i-1$ 天是冷冻期，第 $i$ 天才可以买入，所以有 $f[i][0]=f[i-1][2]$。

第 $i-1$ 天是买入股票或者持有股票，第 $i$ 天才可以卖出，状态是二者的较大值，所以有 $f[i][1]=max(f[i-1][0]+prices[i]-prices[i-1],f[i-1][3]+prices[i]-f[i-1][4])$。

第 $i-1$ 天是卖出或者冷冻期，第 $i$ 天才可以是冷冻期，所以有 $f[i][2]=max(f[i-1][2],f[i-1][1])$。

第 $i-1$ 天是买入或者持有，第 $i$ 天才可以是持有，这时候，我们需要比较是买入-持有获得的价值大还是持有-持有获得的价值大，前者的价值是 $f[i-1][0]-prices[i-1]$，后者的价值是 $f[i-1][3]-f[i-1][4]$。如果前者的价值大，则更新 $f[i][3]=f[i-1][0]，f[i][4]=prices[i-1]$，如果后者的价值大，则更新 $f[i][3]=f[i-1][3]，f[i][4]=f[i-1][4]$。

3. 代码实现

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:

        if len(prices) == 1:
            return 0
        ret = 0
        # dp[0] 代表当天买入股票后的最大收益
        # dp[1] 代表当天卖出股票后的最大收益
        # dp[2] 代表当天是冷冻期的最大收益
        # dp[3] 代表当天是持有股票后的最大收益
        # dp[4] 代表当天是持有股票，买入的股票价格
        dp = [[0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0]]
        dp[1][1] = prices[1] - prices[0]
        dp[1][4] = prices[0]
        ret = max(ret, dp[1][1])
        for i in range(2, len(prices)):
            dp.append([0, 0, 0, 0, 0])
            dp[i][0] = dp[i -1][2]

            dp[i][1] = max(prices[i] - prices[i-1] + dp[i-1][0],
                        prices[i] - dp[i-1][4] + dp[i-1][3])
            ret = max(ret, dp[i][1])


            dp[i][2] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][2])


            buy_hold = dp[i-1][0] - prices[i-1]
            hold_hold = dp[i-1][3] - dp[i-1][4]
            if buy_hold > hold_hold:
                dp[i][3] = dp[i-1][0]
                dp[i][4] = prices[i-1]
            else:
                dp[i][3] = dp[i-1][3]
                dp[i][4] = dp[i-1][4]
        return ret

注意，如果初始化 $dp=[[0,0,0,0,0]]\ast len(prices)$，那么 $dp$ 中所有的列表都是同一个，修改一个所有的都会跟着变动。