前置知识

平衡树

平衡树指的是任意节点的子树的高度差都小于等于 $1$ 的二叉查找树。

因为他是平衡的，我们做树上的操作就可以降到 $O(lo{g}_n)$ 的时间复杂度。

AVL平衡树

因为对于树有可能进行插入或删除操作，使得树有可能不平衡，甚至变成链，导致操作变成 $O(n)$ 的时间复杂度。

所以我们需要对树进行一些操作，使得它变成平衡的。

这里有很多种，比如说 $splay,treap,fhqtreap,AVL$ ，这里主要讲讲 $AVL$ 。

因为我们需要插入或者删除一个节点，某个节点的平衡因子的绝对值小于等于 $2$ ，所以我们只需要把子树旋转一下就好了。（我们这里的平衡因子定义为左子树的高度减去右子树的高度）

然而旋转有四种情况。

我们先来看看旋转的基本操作。

旋转

基本操作

右旋（zig）

对于以 $x$ 为根的子树，如下图。

我们将它右旋一下，则会变成下图。

本质上就是将 $x$ 的左子树变成 $y$ 的右子树， $y$ 的右儿子变成 $x$ ，其他不变。

代码实现如下：

void zig(int &r) {
    int t = tree[r].l;
    tree[r].l = tree[t].r, tree[t].r = r, updata(r), updata(t), r = t;//updata就是更新子树的大小和高度。
}

左旋（zag）

还是以 $x$ 为根的子树。

左旋之后如下图。

本质上就是将 $x$ 的右子树变成 $z$ 的左子树，将 $z$ 的左儿子变成 $x$ ，其他不变。

代码实现如下：

void zag(int &r) {
    int t = tree[r].r;
    tree[r].r = tree[t].l, tree[t].l = r, updata(r), updata(t), r = t;
}

基本的两个操作就讲完了，我们来看看如何旋转。

旋转的分类

如果左右子树高度差的绝对值大于 $1$ ，则我们需要靠旋转来维护。

假设我们以 $x$ 为根的子树的平衡因子的绝对值大于 $1$ ，则旋转分为一下四种情况。

• $x$ 的平衡因子为 $2$ ， $x$ 的左子树的平衡因子为 $1$ ，则需要对 $x$ 进行一次 $zig$ 。
• $x$ 的平衡因子为 $2$ ， $x$ 的左子树的平衡因子为 $-1$ ，则需要先将 $x$ 的左儿子进行一次 $zag$ ，在对 $x$ 做一次 $zig$ 。
• $x$ 的平衡因子为 $-2$ ， $x$ 的右子树的平衡因子为 $-1$ ，则需要对 $x$ 进行一次 $zag$ 。
• $x$ 的平衡因子为 $-2$ ， $x$ 的右子树的平衡因子为 $1$ ，则需要先将 $x$ 的右儿子进行一次 $zig$ ，在对 $x$ 做一次 $zag$ 。

经过这样旋转，以 $x$ 为根的子树就又平衡了。

代码实现如下：

int BF(int r) { return tree[tree[r].l].h - tree[tree[r].r].h; }
void maintain(int &r) {
    updata(r);
    int fs = BF(r), fl;
    if (fs > 1) {
        fl = BF(tree[r].l);
        if (fl > 0)
            zig(r);
        else
            zag(tree[r].l), zig(r);
    }
    if (fs < -1) {
        fl = BF(tree[r].r);
        if (fl < 0)
            zag(r);
        else
            zig(tree[r].r), zag(r);
    }
}

因为平衡树也是二叉查找树，所以查询就跟二叉查找树一样，因为旋转操作不会改变树的 $dfs$ 序。