【算法竞赛进阶指南】0x05 排序

news2024/11/16 17:58:43

0x05排序

排序基本算法

785. 快速排序 - AcWing题库姑且用这个评测。

1.选择、插入、冒泡

这类排序是基于比较的排序算法，时间复杂度为O\left ( n^{2} \right )

选择排序

思路比较简单，就是每一次从后面选出最小的数字来与当前这个数字交换

#include<bits/stdc++.h>
const int N=1e6+10;
int n,a[N];
void select_sort()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int minn=a[i];
        int sign=i;
        for(int j=i;j<=n;j++)
        {
            if(a[j]<minn)
            {
                minn=a[j];
                sign=j;
            }
        }
        std::swap(a[i],a[sign]);
    }
}
signed main()
{
    std::cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) std::cin>>a[i];
    select_sort();
    for(int i=1;i<=n;i++) std::cout<<a[i]<<" ";
    return 0;
}

插入排序

排序算法——直接插入排序（图文超详细！）-CSDN博客

思路就是每次对当前的数字找到前面第一个大于等于它的j，否则就往后移。

#include<bits/stdc++.h>
const int N=1e6+10;
int n,a[N];
void insert_sort()
{
    int j;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]<a[i-1])
        {
            int t=a[i];
            for(j=i-1;j>=1&&t<a[j];j--)
            {//在第一个t>=a[j]的位置退出
                a[j+1]=a[j];
            }
            a[j+1]=t;
        }
    }
}
signed main()
{
    std::cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) std::cin>>a[i];
    insert_sort();
    for(int i=1;i<=n;i++) std::cout<<a[i]<<" ";
    return 0;
}
冒泡排序

冒泡排序-排序-CSDN博客

看里面的动图就很好理解了，从左到右对每两个相邻的数都比较一次，那么到一轮之后最大的数就会跑到最后一个，这样重复n轮就可以实现排序的功能。

#include<bits/stdc++.h>
const int N=1e6+10;
int n,a[N];
void pop_sort()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)//走的次数
    {
        for(int j=1;j<=n-i;j++)
        {
            if(a[j]>a[j+1])
            {
                std::swap(a[j],a[j+1]);
            }
        }
    }
}
signed main()
{
    std::cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) std::cin>>a[i];
    pop_sort();
    for(int i=1;i<=n;i++) std::cout<<a[i]<<" ";
    return 0;
}

2.堆排序、归并排序、快速排序

也是基于比较的排序算法，时间复杂度为O\left ( nlogn \right )

基于比较的排序算法的时间复杂度下界为 O\left ( nlogn \right )，这已经是时间复杂度最优的基于比较的排序算法。

堆排序 

【算法】排序算法之堆排序 - 知乎 (zhihu.com)

归并排序

787. 归并排序 - AcWing题库

先排序再合并

#include<bits/stdc++.h>
const int N=1e6+10;
int a[N],b[N];
void hebin(int l,int r)
{
	int mid=l+r>>1;
	int p=l,q=mid+1;
	for(int i=l;i<=r;i++)
	{
		if((p<mid+1&&a[p]<=a[q]) || q>r)
		{
			b[i]=a[p++];
		}else b[i]=a[q++]; 
	}
	for(int i=l;i<=r;i++) 
		a[i]=b[i];
}
void merge_sort(int l,int r)
{
	int mid=l+r>>1;
	if(l==r) return ;
	merge_sort(l,mid);
	merge_sort(mid+1,r);
	
	hebin(l,r);	
} 
signed main()
{
	int n;
	std::cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		std::cin>>a[i];
	}
	merge_sort(1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		std::cout<<a[i]<<" ";
	return 0;
}
快速排序

785. 快速排序 - AcWing题库

随便从区间里选择一个点，让左边的数都比他小，右边的数都比它大。

#include<bits/stdc++.h>
const int N=1e6+10;
int n,a[N];
void quick_sort(int l,int r)
{
    if(l>=r) return ;
    int x=a[l+r>>1];
    int i=l-1,j=r+1;
    while(i<j)
    {
        do i++;while(a[i]<x);
        do j--;while(a[j]>x);
        if(i<j) std::swap(a[i],a[j]);
    }
    
    quick_sort(l,j);
    quick_sort(j+1,r);
    
}
signed main()
{
    std::cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) std::cin>>a[i];
    
    quick_sort(1,n);
    
    for(int i=1;i<=n;i++) std::cout<<a[i]<<" ";
    return 0;
}

 3.计数排序、基数排序、桶排序

计数排序

【算法】排序算法之计数排序 - 知乎 (zhihu.com)

基数排序

最详细的【基数排序】---排序算法，思路清晰动图保姆级讲解，五分钟搞懂！_csdn基数排序动图-CSDN博客

桶排序

【算法】排序算法之桶排序 - 知乎 (zhihu.com)

排序算法应用

离散化

排序算法的第一个应用是离散化。就是把无穷大集合中的若干个元素映射为有限集合以便于统计的方法。如：问题范围很大但只涉及其中m个数，并且与数值的绝对大小无关，我们就可以把这m个数字与1-m建立映射关系。

void discrete()//离散化
{
	std::sort(a+1,a+1+n);
	//去重 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(i==1||a[i]!=a[i-1])
		{
			b[++m]=a[i];
		}
	}
} 
int query(int x)//查询x的映射 
{
	return std::lower_bound(b+1,b+m+1,x)-b; 
}

关于lower_bound( )和upper_bound( )的常见用法_lowerbound和upperbound-CSDN博客

简单概括一下就是lower_bound找到第一个<=num的值，upper返回第一个>。这两个函数都是返回一个迭代器，减去初始位置就可以得到下标。

同时在函数参数中加上greater<int>()就把上面的<改成了>。

103. 电影 - AcWing题库

e这题就是给定n个编号，从m个里面发现人数最大的解就可以。其实只需要开个map记录每种语言有多少人会就行了，毕竟没人关心谁会谁不会。循环里维护sign即可。

#include<bits/stdc++.h>
using ll=long long;
//#define int ll
const int N=2e5+10;
int n,m,k;
int a,b[N],c[N];
std::map<int,int> mp;//记录懂这个语言的人的个数 

void solve()
{
	std::cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		std::cin>>a;	
		mp[a]++;
		//std::cout<<a<<" "<<mp[a]<<'\n';
	}	
	
	std::cin>>m;
	int maxn=0,sign=m,maxnn=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		std::cin>>b[i];
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		std::cin>>c[i];
		
		int now=mp[b[i]];
		if(now>maxn)
		{
			//std::cout<<i<<'\n';
			maxn=now,sign=i;
			maxnn=mp[c[i]];
			
		}else if(now==maxn){
			if(mp[c[i]]>maxnn)
			{
				maxnn=mp[c[i]];
				sign=i;
			}
		}	
	}
	std::cout<<sign<<'\n';
}
signed main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    int t=1;
	//std::cin>>t;
    while(t--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}

中位数

104. 货仓选址 - AcWing题库

需要某家店到所有店的距离之和最短，奇数时最中间那个点最短，偶数时中间两个点都行。

#include<bits/stdc++.h>
using ll=long long;
//#define int ll
const int N=2e5+10;
int n,m,k;
int a[N];
ll ans;
void solve()
{
	std::cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		std::cin>>a[i];	
	}	
	std::sort(a+1,1+a+n);
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ans+=std::abs(a[i]-a[n/2+1]);
	} 
	std::cout<<ans;
}
signed main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    int t=1;
	//std::cin>>t;
    while(t--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}
105. 七夕祭 - AcWing题库

专门开了个博客写这个问题，会详细点。 

【算法】环形纸牌均分问题-CSDN博客

#include<bits/stdc++.h>
using ll=long long;
const int N=1e5+10;
const int mod=1e9+7;
int row[N],col[N],sr[N],sl[N];
int n,m,s;
ll cnt1=-1,cnt2=-1;
void solve()
{
	std::cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1;i<=s;i++)
	{
		int x,y;
		std::cin>>x>>y;
		row[x]++,col[y]++;
	}
	if(s%n==0)//对行 
	{
		cnt1=0;
		int t=s/n;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			row[i]-=t;
			sr[i]=sr[i-1]+row[i];	
		}  
		std::sort(sr+1,sr+1+n);
		int mid=1+n/2;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			cnt1+=std::abs(sr[i]-sr[mid]);
		}
	}
	if(s%m==0)//对列
	{
		cnt2=0;
		int t=s/m;
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			col[i]-=t;
			sl[i]=sl[i-1]+col[i];	
		}  
		std::sort(sl+1,sl+1+m);
		int mid=1+m/2;
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			cnt2+=std::abs(sl[i]-sl[mid]);
		}
	}
	if(cnt1==-1&&cnt2==-1)
	{
		std::cout<<"impossible"<<'\n';
	}else{
		if(cnt1!=-1&&cnt2!=-1)
		{
			std::cout<<"both"<<' ';
			std::cout<<cnt1+cnt2<<'\n';
		}else if(cnt1!=-1){
			std::cout<<"row"<<' ';
			std::cout<<cnt1<<'\n';
		}else{
			std::cout<<"column"<<' ';
			std::cout<<cnt2<<'\n';
		}
	}
}
signed main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(0);
    int t=1;
	//std::cin>>t;
    while(t--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}
106. 动态中位数 - AcWing题库

依次读入一个整数序列，每当已经读入的个数为奇数时，输出已读入的序列的中位数。

对数组排序的时间复杂度是nlogn，但是求解中位数实际上并不要求这个数组有序。我们只需要找到一个数字，左边一半都比他小，右边一半都比他大。

如何让左边一半都比它小，右边一半都比他大呢？我们可以建两个堆，左边一个大根堆，右边一个小根堆。是不是只要大根堆所有元素都比小根堆的所有元素小，并且数量满足一定关系就好了？

我们假定中位数，n/2+1是大根堆的堆顶，那么左边有n/2+1个元素，右边有n/2个元素。那么需要满足的数量关系是不是就是，leftsize-1==rightsize。

因此，进来一个数我们就把他放进大根堆。如果，大根堆的top比小根堆的top还大了，我们只需要交换两个top即可，这样我们就维护了左边的始终小于右边的。

在堆稳定之后，我们就要判断左边堆的数量是不是太多了。如果是就弹出top并放入right即可。

#include<bits/stdc++.h>
using ll=long long;
const int N=1e4+10;
int a[N];
void solve()
{
    int sno,n;
    std::cin>>sno>>n;

    std::cout<<sno<<" "<<n/2+1<<'\n';
    std::priority_queue<int> left;//大根堆
    std::priority_queue<int,std::vector<int>,std::greater<int>> right;

    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        std::cin>>x;

        left.push(x);
        if(!right.empty()&&left.top()>right.top())
        {
            int a=left.top(),b=right.top();
            left.pop(),right.pop();
            right.push(a),left.push(b);
        }

        //左边n/2+1，右边n/2
        if(left.size()-1>right.size())//左边太多了
        {
            right.push(left.top());
            left.pop();
        }

        if(i%2)
        {
            cnt++;
            std::cout<<left.top()<<" ";
            if(cnt%10==0) std::cout<<'\n';//达到十个就回车
        }
    }
    if(cnt%10) std::cout<<'\n';
}
signed main()
{
    int t=1;
    std::cin>>t;
    while(t--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}

第k大数

786. 第k个数 - AcWing题库

这个也可以用上面的对顶堆来做，只需要把大小条件改了就行。每次进堆之前比较，如果当前数比lefttop大就丢到右边，否则把lefttop抛出，把这个数塞进去。

#include<bits/stdc++.h>
using ll=long long;
const int N=1e5+10;
int x;
int n,k;
void solve()
{
    std::priority_queue<int> left;
	std::priority_queue<int,std::vector<int>,std::greater<int>> right;
	std::cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		std::cin>>x;
		
	    left.push(x);	
		if(left.size()>k)
		{
		    right.push(left.top());
		    left.pop();
		}
		if(!right.empty()&&left.top()>right.top())
		{
		    int a=left.top(),b=right.top();
		    left.pop(),right.pop();
		    left.push(b),right.push(a);
		}
	}
	std::cout<<left.top();
}
signed main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	int t=1;
	//std::cin>>t;
	while(t--)
	{
		solve();
	}
	return 0;
}

还有一种做法是快速排序，快速排序的过程是每次选择一个数让左边都比他小，右边都比他大，然后再分别递归两边进行排序。然而，我们追求的不是有序的数组，我们只需要知道第k大的是什么就好，因此我们每次可以舍弃一半的区间。平均情况下时间复杂度为O(n)。

#include<bits/stdc++.h>
using ll=long long;
const int N=1e5+10;
int a[N];
int n,k;
int quick_sort(int l,int r)
{
	if(l==r) return a[l];
	int mid=l+r>>1;
	int x=a[mid];
	int i=l-1,j=r+1;
	while(i<j)
	{
		do i++;while(a[i]<x);
		do j--;while(a[j]>x);
		if(i<j) std::swap(a[i],a[j]);
	}
	if(j>=k) return quick_sort(l,j);
	else return quick_sort(j+1,r);
}
void solve()
{
	std::cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		std::cin>>a[i];
	}
	std::cout<<quick_sort(1,n);
}
signed main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	int t=1;
	//std::cin>>t;
	while(t--)
	{
		solve();
	}
	return 0;
}

比较一下时间，还是快排优化之后的代码更加理想。

对于对顶堆这个做法主要是可以在线以O1的时间处理，如果离线处理还不如直接排序。

逆序对

对一个序列a，如果i<j 并且 a[i] >a[j]，则称a[i] 与a[j]构成逆序对。

求逆序对的常用方法是归并排序，还有树状数组（后面应该会学）。

贴个归并排序。

#include<bits/stdc++.h>
using ll=long long;
const int N=1e5+10;
int a[N],b[N];
int n,k;
void hebin(int l,int r)
{
	int mid=l+r>>1;
	int i=l,j=mid+1;
	int k=0;
	while(i<=mid&&j<=r)
	{
		if(a[i]<=a[j]) b[++k]=a[i++];
		else b[++k]=a[j++];	
	}	
	while(i<=mid) b[++k]=a[i++];
	while(j<=r) b[++k]=a[j++];
	
	for(int i=l,j=1;i<=r,j<=k;i++,j++) a[i]=b[j];
}
void merge_sort(int l,int r)
{
	if(l==r) return ;
	int mid=l+r>>1;
	merge_sort(l,mid);
	merge_sort(mid+1,r);
	
	hebin(l,r);
}
void solve()
{
	std::cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		std::cin>>a[i];
	}
	merge_sort(1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		std::cout<<a[i]<<" ";
	}
}
signed main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	int t=1;
	//std::cin>>t;
	while(t--)
	{
		solve();
	}
	return 0;
}

 如果要计算逆序对个数只需要加上一段代码（逆序对个数记得开long long！

为啥是这样呢？

再合并数组里，我们合并l~mid和mid~r这两段区间，此时指针走到了i，则i~mid都会比j小，因此加上这段区间的长度mid-i+1即可。

107. 超快速排序 - AcWing题库

 确定超快速排序需要执行多少交换操作才能对给定的输入序列进行排序

把每一对逆序的交换就行了呗，实际上就是求逆序对的个数。

#include<bits/stdc++.h>
using ll=long long;
const int N=5e5+10;
int a[N],b[N];
int n,k;
ll cnt;
void hebin(int l,int r)
{
	int mid=l+r>>1;
	int i=l,j=mid+1;
	int k=0;
	while(i<=mid&&j<=r)
	{
		if(a[i]<=a[j]) b[++k]=a[i++];
		else b[++k]=a[j++],cnt+=mid-i+1;	
	}	
	while(i<=mid) b[++k]=a[i++];
	while(j<=r) b[++k]=a[j++];
	
	for(int i=l,j=1;i<=r,j<=k;i++,j++) a[i]=b[j];
}
void merge_sort(int l,int r)
{
	if(l==r) return ;
	int mid=l+r>>1;
	merge_sort(l,mid);
	merge_sort(mid+1,r);
	
	hebin(l,r);
}
void solve()
{
	std::cin>>n;
	if(n==0) return ;
	cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		std::cin>>a[i];
	}
	merge_sort(1,n);
	
	std::cout<<cnt<<'\n';
}
signed main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	int t=1;
	//std::cin>>t;
	while(t)
	{
		solve();
		if(n==0) break;
	}
	return 0;
}
108. 奇数码问题 - AcWing题库

可以把棋盘抽象出来，左右交换不会改变元素的排列。因此我们只考虑上下交换，当m为奇数的时候，上下交换会_23 456 789->423 _56 789绕过2个数，这必定是偶数，也就是每次交换只改变偶数次逆序对。如果给定的两个状态的逆序对个数的奇偶性不同，那么怎么都不会成功。因此这题我们只需要判断两种状态的逆序对个数奇偶性即可。

如果n是偶数呢？每次交换绕过奇数个，但我们只会换空格行的差次。为什么？虽然我们可以来回不停的换，但来回换并不会一下逆序对的奇偶性。因此判断逆序对数之差和行数之差奇偶性是否相同即可。

参考：排序与贪心知识点小结 - a1b3c7d9 - 博客园 (cnblogs.com)

因为这题难点在于思维不在于代码，所以这里偷个懒直接cp别人代码hh。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=510;
int n,m,a[N*N],b[N*N],c[N*N],i,j,k;
long long cnt;
void merge(int a[],int l,int r)
{
    if (r-l<1)
        return ;
    int mid=(l+r)>>1;
    merge(a,l,mid);
    merge(a,mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1;
    for (int k=l; k<=r; k++)
    {
        if (j>r || i<=mid && a[i]<=a[j])
            b[k]=a[i++];
        else
        {
            cnt+=mid-i+1;
            b[k]=a[j++];
        }
    }
    for (int k=l; k<=r; k++)
        a[k]=b[k];
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    while(cin>>n)
    {
        int ok=0,x;
        for (i=1; i<=n*n; i++)
        {
            cin>>x;
            if (x==0)
                ok=1;
            else
                a[i-ok]=x;
        }
        ok=0;
        for (i=1; i<=n*n; i++)
        {
            cin>>x;
            if (x==0)
                ok=1;
            else
                c[i-ok]=x;
        }
        cnt=0;
        memset(b,0,sizeof(b));
        merge(a,1,n*n);
        long long ans=cnt;
        memset(b,0,sizeof(b));
        cnt=0;
        merge(c,1,n*n);
        if ((ans&1)==(cnt&1))
            puts("TAK");
        else
            puts("NIE");
    }
    return 0;
}

 

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