图1 环

14.1 环的定义与性质

环：代数系统$[R;+;\ast ]$，其中+，*为定义在$R$上的二元运算，满足下述条件，对任意$a,b,c\in R$,

​ +可结合、交换，且有单位元、逆元；*可结合，且满足分配率，则称$[R,+,\ast ]$为环

即$[R;+]$为Abel群，[R,*]为半群

零因子：$[R;+;\cdot ]$为环，$a,b\in R，a\ne 0,b\ne 0$，但$a\cdot b=0$，称$a$为R的一个左零因子，$b$为R的一个右零因子，统称$a,b$为R的零因子。

图1中的交换与单位元，都是对第二个运算而言的，由图不难得出各种环和域的定义，不再赘述

定理1 $[R;+,\cdot ]$为环，则$\forall a,b\in R$,有 （p175）

1. $a\cdot 0=0\cdot a=0$
2. $a\cdot (-b)=(-a)\cdot b=-(ab)$

由分配律不难得出

定理2 $[R;+,\cdot ]$为整环，则$\cdot$满足消去律

也是分配律，$ab=ac,a(b-c)=ab-ac$，又无零因子，$a\ne 0$,则$b-c=0,b=c$

14.2 子环与环同态

14.2.1 子环

子环：$[S;+,\cdot ]$为环，$S\subseteq R,S\ne \varnothing$,当$[S;+,\cdot ]$为环时，称它为$R$的子环， S = R , S = { 0 } S=R,S=\{0\} S=R,S={0}时称它为$R$的平凡子环，否则为非平凡子环，当S是R的真子集时，称S为R的真子环。

定理3：S是R的子环$⟺\forall a,b\in S$:(p177),三个封闭

1.$a+b\in S$ 2.$-a\in S$ 3.$a\cdot b\in S$

必要性是显然的，充分性：由封闭和逆元可知[S;+]是[R;+]的子群，由3可知[S;·]封闭且满足结合律，则为半群，则$S\subseteq R$,又满足分配律，则为子环

环的中心：所有与R中的任意元素在乘法运算下可交换的那些元素全体，即 C = { x ∣ x ∈ R , ∀ a ∈ R , a x = x a } C=\{x|x\in R,\forall a\in R,ax=xa\} C={x∣x∈R,∀a∈R,ax=xa}

定理4：环$R$的中心$C$是它的子环(p177)

根据定理3证明即可

单位子环、特征数：$[R;+,\cdot ]$为有单位元环，$e$为其单位元，则 E = { n e ∣ n ∈ Z } E=\{ne|n\in Z\} E={ne∣n∈Z}称为$R$的单位子环。当$|E|<+\infty$,必$\exists m,n\in Z,m\ne n,$使$me=ne,(m-n)e=0$，使$ke=0$之最小正整数称为环$R$的特征数;如果不存在这样的整数，则称该环的特征数为0，以$charR$表示$R$的特征数。

定理5：设p为有单位元环$R$的特征数，则(p178)

1. 对任何$a\ne 0,pa=0$，而且，当$R$是整环时，$p$也是使$pa=0$对任何$a\ne 0$都成立的最小非0正整数

   $pa=p(ea)=(pe)a=0\cdot a=0$(p个a相加等于p个ea相加，再把a提出来)

2. 当R为整环时，其特征数要么为素数要么为0

   $pa=(p_1{p}_2)a=(p_{1}a)(p_{2}e)=0$，矛盾

14.2.2 环同态

**环同态：**已知环$[R;+,\cdot ]$与$[R^{\prime };\circ ,\ast ]$，若存在映射$\phi :R\to R^{\prime },$对任$r_1,r_2\in R$有
$$\begin{array}{rl}\phi (r_1+r_2)& =\phi (r_1)\circ \phi (r_2)\\ \phi (r_1{r}_2)& =\phi (r_1)\ast \phi (r_2)\end{array}$$
则称$\phi$位$R$到$R^{\prime }$的同态映射;当$\phi (R)=R^{\prime }$称两个环同态;当$\phi$为一一对应称两个环同构;当$R^{\prime }\subseteq R$时，称为自同态和自同构。

定理6：(p178)

1. $\phi (0)=0^{\prime }，0$为$R$之加法单位元，$0^{\prime }$为$R^{\prime }$之加法单位元。
2. 如果R和R’均为有单位元环，且$e,e^{\prime }$分别为其单位元，当$\phi$是满射或者$R^{\prime }$为无零因子环且$\phi$不是零同态(所有元素映射过去都是0’)，则$\phi (e)=e^{\prime }$
3. $\phi (R)\subseteq R^{\prime }$必为$R^{\prime }$的子环

推论1：若环同构，则R和R’同为整环(除环、域)

定理7：设有整环$R,charR=p(p\ne 0)$，作映射$\phi :R\to R,\forall a\in R,\phi (a)=a^p$是R的一个同态映射且$a\ne b $时,$\varphi(a)\ne\varphi(b)$(p179)

在交换环中二项式定理成立，而且p是素数，不难发现$(a+b{)}^p$除了$a^p，b^p$，其余各项系数都有因子p，则

$(a+b{)}^p=a^p+b^p,(a-b{)}^p=a^p-b^p,(ab{)}^p=a^p{b}^p$，再证明若$a\ne b,\phi (a)\ne \phi (b)$即可(是映射)

14.3 多项式环

**多项式环：**定义在域F上的多项式 F [ x ] = { ∑ i = 0 n a i x i ∣ i = 0 , ⋯   , n , a i ∈ F } F[x]=\{\sum^n_{i=0}a_ix^i|i=0,\cdots,n,a_i\in F\} F[x]={∑i=0n​ai​xi∣i=0,⋯,n,ai​∈F}关于多项式的乘法与加法构成整环，称$F[x]$为域上的多项式环

定理8(p180)：对$f(x)\in F[x],g(x)\in F[x],g(x)\ne 0，\exists$唯一的$q(x),r(x)\in F[x],degr(x)<degg(x)$或$r(x)=0$,使得
$$f(x)=g(x)q(x)+r(x)$$

分为$degf(x)<degg(x)$和$degf(x)\ge degg(x)$,前者是显然的，后者可通过归纳得到，再证明唯一性即可

推论2：$f(x),(x-a)\in F[x]$,其中$a\in F$,则$f(x)$被$x-a$除的余式为$f(a)$。(p180)